Zeigen sie: ein f aus End(V) ist unipotent <=> charakteristische Polynom von f = (X-1)^dimV

Question

Ein Endomorphismus f eines endlich erzeugten K-VR V heißt unipotent, wenn f von der Form ist

f = idV + g mit g aus End(V) nilpotent.

Zeigen sie:

ein f aus End(V) ist unipotent <=> charakteristische Polynom von f = (X-1)^dimV

Ich hab keine Ahnung wie man das zeigt. Ich weiß, dass das f in Linearfaktoren zerfällt mit der algebraischen Vielfachheit dimV und man dann irgendwie eine Basis finden kann womit man eine abbildungsmarix bilden kann..........

Wer kann bitte helfen?

Comments

Hat jemand hier vielleicht eine Ahnung wie das geht?

Answer 1

Sei \(f=id+g\) mit nilpotentem \(g\).

Dann ist \(f-id=g\) nilpotent, d.h. es gibt natürliche Zahl \(k>0\) mit

\((f-id)^k=0\). Es ist also \(f\) eine Nullstelle von \((X-1)^k\). Da das charakteristische

Polynom den Grad \(\dim (V)\) hat und dieselben Nullstellen, folgt, dass es die Gestalt

\((X-1)^{\dim(V)}\) haben muss.

Die Umkehrung ist trivial.