Beweis der Eigenwerte von nilpotenter Matrix

Question

a) Sei A eine nilpotente Matrix, d.h. eine quadratische Matrix mit Aⁿ = 0 füe eine natürliche Zahl n. Zeigen Sie, A hat als einzigen Eigenwert die Null.

 

b) Sei A eine unipotente Matrix, d.h. A - Id sei nilpotent. Zeigen Sie, alle Eigenwerte von A sind gleich 1.

 

c) Zeigen Sie, eine nxn-Matrix mit n paarweise verschiedenen Eigenwerten ist diagonalisierbar.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Man beweise: Alle Eigenwerte von A sind 0, wenn A nilpotent ist. Was ist X_A?

Stichworte: eigenwerte,nilpotent

Sei A ∈ ℝ^nxn nilpotent, d.h., es existiert k so dass A^k = 0.

Man beweise: Alle Eigenwerte von A sind 0. Was ist X_A?

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Das ist das a) hier https://www.mathelounge.de/22828/beweis-der-eigenwerte-von-nilpotenter-matrix

Ich hoffe, du kommst damit ein Stück weiter.

Answer 1

Zu a) Sei  k  ein Eigenwert von  A. Es existiert ein Eigenvektor  x ≠ 0  von  A  mit
Ax = kx ⇒ Aⁿx = kⁿx ⇒ 0 = kⁿx ⇒ k = 0.

Zu b) Sei  k  ein Eigenwert  von  A. Es existiert ein Eigenvektor  x ≠ 0  von  A  mit
Ax = kx ⇔ (A - I)x = (k - 1)x.
Also ist  k - 1  ein Eigenwert von  A - I. Nach a) ist  k - 1 = 0, also k = 1.

Comments

danke für deine Hilfe.

Bedeutet "I" die Einheitsmatrix oder was?

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So ist das gemeint.

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Warum ist   (A-I)x = (k-1)x  ?

Answer 2

Sind alles Trivialitäten; meine Bitte: Lernt ===> Elementarteiler Darauf läuft das nämlich hinaus.