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Sei ACn×n A \in \mathbb{C}^{n \times n} nilpotent, d.h. es existiert ein mN m \in \mathbb{N} , sodass Am A^{m} = 0. Zeige , dass

(1nA)1=l=0mAl (\mathbf{1}_n-A)^{-1} = \displaystyle \sum_{l=0}^m A^l gilt.

Habe leider keine Ansätze im Internet gefunden und weiß daher nicht, welche Propositions ich verwenden muss, um von der linken Seite mithilfe von Transformationen auf die rechte zu kommen. Deshalb möchte ich euch nach Hilfe fragen bezüglich der Propositions die zu verwenden sind, um die Aufgabe zu lösen. Ich komme da einfach nicht mehr weiter.

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Leider kann ich den Fragetitel nicht korrekt anzeigen lassen, weiß jemand mehr darüber?

Multipliziere (InA)k=0mAk\displaystyle(I_n-A)\cdot\sum_{k=0}^mA^k aus und stelle fest, dass das Resultat die Identität ist. Da Am=0A^m=0 ist, genügt es, bis m1m-1 zu summieren.

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Führe den Tipp von Spacko aus:

1. l=0mAl=A0+l=1m1Al+Am \sum_{l=0}^m A^l =A^0+\sum_{l=1}^{m-1} A^l +A^m =1n+l=1m1Al+0=1n+l=1m1Al=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l +0=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l

2. Berechne dann

(1nA)l=0mAl(1_n - A)*\sum_{l=0}^m A^l  also wegen 1 ist das

(1nA)(1n+l=1m1Al)(1_n - A)*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l)

=1n(1n+l=1m1Al)A(1n+l=1m1Al)=1_n*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l) - A*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l)

=1n+l=1m1Al(A+l=2mAl)=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l - (A+\sum_{l=2}^{m} A^l)

=1n+l=1m1AlAl=2mAl=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l - A - \sum_{l=2}^{m} A^l

=1n+l=11AlA=1n+AA=1n=1_n+\sum_{l=1}^{1} A^l - A =1_n+A - A = 1_n

Also ist das anfängliche Matrizenprodukt die Einheitsmatrix,

d.h. die eine ist die inverse der anderen.

Avatar von 289 k 🚀

Das ergibt jetzt enorm viel Sinn für mich. Das Problem ist, wie kommt man selbstständig drauf :D? Naja, einfach hoffen, dass es irgendwie klappt. Danke dir!

Ich habe alles bis auf den letzten Schritt verstanden:

l=1m1All=2mAl=l=11Al \displaystyle \sum_{l=1}^{m-1} A^l - \displaystyle \sum_{l=2}^m A^l = \displaystyle \sum_{l=1}^1 A^l

Wie kann das sein?

EDIT: Stimmt ja Am = 0. Also bleibt nur A. Habe es endlich verstanden, danke!

Von der ersten Summe werden A2,  ,Am1 A^2, \ \cdots \ ,A^{m-1} abgezogen und es ist Am=0 A^m = 0 nach Voraussetzung. Also bleibt von der ersten Summe nur noch A1=A A^1 = A übrig.

Jup, habe meinen Kommentar editiert.

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