Inverse von 1-A bei nilpotenter Matrix A

Question

Sei $$ A \in \mathbb{C}^{n \times n} $$ nilpotent, d.h. es existiert ein $$ m \in \mathbb{N} $$, sodass \( A^{m} \) = 0. Zeige , dass

$$ (\mathbf{1}_n-A)^{-1} = \displaystyle \sum_{l=0}^m A^l $$ gilt.

Habe leider keine Ansätze im Internet gefunden und weiß daher nicht, welche Propositions ich verwenden muss, um von der linken Seite mithilfe von Transformationen auf die rechte zu kommen. Deshalb möchte ich euch nach Hilfe fragen bezüglich der Propositions die zu verwenden sind, um die Aufgabe zu lösen. Ich komme da einfach nicht mehr weiter.

Comments

Leider kann ich den Fragetitel nicht korrekt anzeigen lassen, weiß jemand mehr darüber?

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Multipliziere \(\displaystyle(I_n-A)\cdot\sum_{k=0}^mA^k\) aus und stelle fest, dass das Resultat die Identität ist. Da \(A^m=0\) ist, genügt es, bis \(m-1\) zu summieren.

Answer 1

Führe den Tipp von Spacko aus:

1. $$ \sum_{l=0}^m A^l =A^0+\sum_{l=1}^{m-1} A^l +A^m $$$$=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l +0=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l $$

2. Berechne dann

$$(1_n - A)*\sum_{l=0}^m A^l$$  also wegen 1 ist das

$$(1_n - A)*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l)$$

$$=1_n*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l) - A*(1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l)$$

$$=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l - (A+\sum_{l=2}^{m} A^l)$$

$$=1_n+\sum_{l=1}^{m-1} A^l - A - \sum_{l=2}^{m} A^l$$

$$=1_n+\sum_{l=1}^{1} A^l - A =1_n+A - A = 1_n$$

Also ist das anfängliche Matrizenprodukt die Einheitsmatrix,

d.h. die eine ist die inverse der anderen.

Comments

Das ergibt jetzt enorm viel Sinn für mich. Das Problem ist, wie kommt man selbstständig drauf :D? Naja, einfach hoffen, dass es irgendwie klappt. Danke dir!

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Ich habe alles bis auf den letzten Schritt verstanden:

$$ \displaystyle \sum_{l=1}^{m-1} A^l - \displaystyle \sum_{l=2}^m A^l =  \displaystyle \sum_{l=1}^1 A^l $$

Wie kann das sein?

EDIT: Stimmt ja A^m = 0. Also bleibt nur A. Habe es endlich verstanden, danke!

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Von der ersten Summe werden \( A^2, \ \cdots \ ,A^{m-1} \) abgezogen und es ist \( A^m = 0 \) nach Voraussetzung. Also bleibt von der ersten Summe nur noch \( A^1 = A \) übrig.

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Jup, habe meinen Kommentar editiert.