Jeder Punkt in \(x\in [a,b] \) kann als Grenzwert einer rationalen Folge \((r_n)\) dargestellt werden: \(x = \lim_{n\to\infty}r_n\)
Da f und g stetig sind, gilt dann aber
\(f(x) = \lim_{n\to\infty}f(r_n) \stackrel{f(r_n) = g(r_n)}{=} \lim_{n\to\infty}g(r_n) = g(x)\)
Die Antwort auf die zweite Frage bzgl. D könnte etwas schwierig zu verstehen sein. Dazu ein wichtiger Fakt voraus:
Betrachte zum Beispiel eine Funktion h, die nur auf der Menge \(\{1,2\}\) definiert ist:
\(h:\;\{1,2\} \rightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(1) = 3, f(2) = 7\)
So eine Funktion ist auch stetig! Das ist zwar antiintuitiv aber trotzdem leicht per Definition überprüfbar:
Wenn z. Bsp. für eine Folge \(x_n \in \{1,2\} \lim_{n\to\infty} x_n =1 \) gilt, heißt das, dass diese Folge ab einem bestimmten Index an konstant 1 ist. Daher gilt \(\lim_{n\to\infty}f(x_n) = f(1)=3\).
Jetzt können wir D, und stetige f und g angeben, so dass f(r)=g(r) für rationale Zahlen in D gilt aber \(f\neq g\):
Sei \(D =\{1,\sqrt 2\}\) mit \(f(1) = g(1) = 1\) und \(f(\sqrt 2) = 0, g(\sqrt 2) = 1 \). f und g sind stetig auf D aber offenbar gilt \(f \neq g\), da \(\sqrt 2\) nicht rational ist und auch nicht mit rationalen Zahlen in D angenähert werden kann.
