Hallo,
ich habe generell schwierigkeit bei Extremwertaufgaben.
wo genau hast Du die Schwierigkeiten? In der Lösung hast Du einen simplen Einsetzungsfehler gemacht. Da Du dann aufgehört hast, vermute ich aber, dass Du auch mit dem Ableiten z.B. von Wurzeln ein Problem hast.
Nach dem Einsetzen der Nebenbedingunhg erhältst Du$$I(b) = \frac{1}{12} b \left(\sqrt{400-b^2}\right)^3$$Sei Dir bewußt, dass $$(\sqrt{a})^3 = a^{3/2}$$ist. Leitest Du dies nach \(a\) ab, so multipliziere mit dem Exponenten und reduziere ihn anschließend um \(1\)$$\frac{\partial a^{3/2}}{\partial a} = \frac{3}{2} a^{3/2-1} = \frac{3}{2} a^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{a}$$und sollte \(a\) noch von einer Variable - z.B. \(x\) - abhängen, so greift die Kettenregel. Hier muss zusätzlich mit der Ableitung \(a(x)\) nach \(x\) - bzw. \(a'(x)\) - multipliziert werden$$\frac{\partial a(x)^{3/2}}{\partial x} = \frac{3}{2}\sqrt{a(x)} \cdot a'(x)$$Für den gesamten Term brauchst Du dann noch die Produktregel$$\begin{aligned}I(b) &= \frac{1}{12} b \left(400-b^2\right)^{3/2} \\ \frac{\partial I}{\partial b} &= \frac{1}{12}\left( \left(400-b^2\right)^{3/2} + b \cdot \frac{3}{2}\left(400-b^2\right)^{1/2} \cdot (-2b) \right) \\ &= \frac{1}{12}\left( \left(400-b^2\right) + b \cdot \frac{3}{2} \cdot(-2b) \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &= \frac{1}{12}\left( 400-b^2 - 3b^2 \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &= \frac{1}{12}\left( 400-4b^2 \right)\left(400-b^2\right)^{1/2} \\ &\to 0\end{aligned}$$um einen Extremwert zu finden, muss die Ableitung gleich 0 gesetzt werden. Oben steht ein Produkt mit zwei Faktoren, die \(b\) enthalten. Setzt man den zweiten Faktor zu 0, so wird \(b=D\). Das macht keinen Sinn. Folglich bleibt der erste Faktor:$$\begin{aligned} 400 - 4b^2&= 0 \\ 400 &= 4b^2 \\ 100 &= b^2 \\ b&=10\end{aligned}$$die negative Lösung beim Wurzelziehen entfällt hier.
Du kannst Dir bei der Ableiterei einiges an Arbeit ersparen, wenn Du das Verfahren nach Lagrange kennst. Aus Haupt- und Nebenbedingung$$I=\frac{1}{12}bh^3 \to \max \quad \text{NB.:}\space b^2+h^2 = D^2$$stellt man die Lagrange-Funktion \(\mathcal{L}\) auf$$\mathcal{L}(b,h,\lambda) = \frac{1}{12}bh^3 + \lambda(b^2+h^2-D^2)$$und leitet einmal nach \(b\) und einmal nach \(h\) ab$$\frac{\partial\mathcal{L}}{b} = \frac{1}{12}h^3 + 2b \lambda\to 0 \\ \frac{\partial\mathcal{L}}{h} = \frac{1}{4}bh^2 + 2h \lambda \to 0 $$was jetzt weniger aufwendig ist, da ich die Nebenbedingung 'wurzelfrei' formuliert habe!
Wenn man nun die erste Gleichung mit \(h\) und die zweite mit \(b\) multipliziert und beide von einander abzieht, so dass der Term mit \(\lambda\) raus fällt$$\begin{aligned} \implies \frac{1}{12}h^4 &= \frac{1}{4}b^2h^2 &&|\,\cdot \frac{12}{h^2}\\ h^2 &= 3b^2 \\ {\color{grey}h} &{\color{grey}= b\sqrt{3}} \end{aligned}$$dann kommt man sehr schnell zu \(h^2=3b^2\), was man in die Nebenbedingung einsetzt. Und daraus folgt direkt \(\implies b=D/2\).
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte noch einmal.
Gruß Werner
