Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion f um die x -Achs

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Schaubildes der Funktion \( f \) um die \( x \)-Achse zwischen \( x=-1 \) und \( x=2 \) entsteht, mit
\( f(x)=\sqrt{x+2} \)

Wäre als Lösung 3 Pi richtig?

Answer 1

Aloha :)

Bei der Rotation der Funktion \(f(x)=\sqrt{x+2}\) um die \(x\)-Achse im Bereich \(x\in[-1;2]\) entsteht an einer Stelle \(x\) eine Kreisfläche. Ihr Mittelpunkt liegt auf der \(x\)-Achse und ihr Radius ist gleich dem Funktionswert \(r=f(x)\). Die Größe dieser Kreisfläche ist daher \(\pi\,r^2=\pi\cdot f^2(x)\). Dies Kreisflächen musst du nun für alle \(x\in[-1;2]\) addieren:$$F=\int\limits_{-1}^2\pi\,f^2(x)\,dx=\pi\int\limits_{-1}^2(x+2)\,dx=\pi\left[\frac{x^2}{2}+2x\right]_{-1}^2=\pi\left(6-\left(-\frac32\right)\right)=\frac{15}{2}\,\pi$$

Answer 2

Wäre als Lösung 3 Pi richtig?

Nein. Du musst von x+2 erst mal eine Stammfunktion bilden, bevor du Grenzen einsetzt.

Comments

was genau wäre dann die lösung?

Answer 3

Allgemein: \(V=π*  \int\limits_{a}^{b}(f(x))^{2}*dx \)

\(V=π* \int\limits_{-1}^{2}(x+2)*dx=π*[\frac{x^2}{2}  +2x] →π*[ 2 +4-(\frac{1}{2}-2)]=π*[ 6-\frac{1}{2}+2]=7,5*π\)