Wird durch die Abbildung eine Sesquilinearform definiert?

Question

Aufgabe:  Seien A,B Matrizen über C, Es soll bewiesen werden das durch die Abbildung sigma: V x V -> $$ Spur(AB^*)  $$

eie Sesquilinearforn definert wird, der Löaungsansatz ist $$ A^T CB $$ eine Matrix in Mnn(K) definiert wird.

…

Problem/Ansatz: Meine Fragen 1.) was ist C, komplexe Einheitsmatrix ? 2.) Warum muss ich das so umformen, kann ich nicht den Beweis mit $$B*$$ führen ?

Answer 1

Benutze direkt folgende Tatsachen:

1. \(Spur: M_n(K)\rightarrow K\) ist \(K\)-linear für jeden Körper \(K\).

2. \((cA)B^*=c\cdot (AB^*)\)

3. \((A(cB)^*)=A(\bar{c}B^*)=\bar{c}\cdot (AB^*)\)

4. \((B_1+B_2)^*=B_1^*+B_2^*\)

5. \(M_n(K)\) ist ein Ring, insbesondere gelten also
die Distributivgesetze.

Hiermit solltest du alle Eigenschaften von \(\sigma\) nachweisen können.

Comments

Danke, so ist das verständlich

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Hm beim Nachdenken habe ich doch noch eine Frage, wie kommt man im Schritt 3 auf die Konjugation von c ? Nach welcher Regel ?

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Sei \(B=(b_{ij})\), dann ist

\((cB)^*=((cb_{ij}))^*=(\overline{cb_{ij}})^T=(\overline{cb_{ji}})=(\overline{c}\overline{b_{ji}})=\overline{c}B^*\)