(i) Sei v∈V. Wegen V = U ⊕ W gibt es genau ein Paar (u,w)∈UxW mit v=u+w
also p(v)=p(u+w)=u. Wegen " genau ein" ist also die Abb. wohldefiniert.
Seien nun v1,v2 ∈V mit v1=u1+w1 und v2=u2+w2 dann gilt v1+v2=(u1+u2)+(w1+w2)
also p(v1+v2)=u1+u2=p(v1)+p(v2).
Entsprechend für alle x∈K und v=u+w gilt xv=x(u+w)=xu+xw
==> p(xv)=xu=xp(v). Also lin. Abb.
Und für alle v=u+w gilt
p(v)=u und p(p(v))=p(u)=p(u+0)=u, also p(v)=p(p(v)).
v∈ker(p) <=> p(v)=0
<=> Es gibt w∈W mit v=0+w <=> v=w <=> v∈W.
Also ker(p)=W.
u∈Im(p) <=> Es gibt v∈V mit p(v)=u
Zu dem v∈V gibt es genau ein Paar (u',w) mit v=u'+w
Also p(v)=u' Also u=u' und damit u∈U,
also Im(p)=U