Zeigen Sie, dass durch p: V → V , mit p(u + w) = u für u ∈ U, w ∈ W eine lineare Abbildung definiert wird und diese …

Question

hey Leute, ich brauche eure Hilfe bei dieser Aufgabe und wäre mega dankbar wenn ihr mir helfen könntet :)

Aufgabe:

Gegeben sei ein Vektorraum V über einem Körper K.
(i) Es gelte V = U ⊕ W für geeignete lineare Unterräume U, W ⊆ V . Zeigen Sie, dass durch p: V → V , mit p(u + w) = u für u ∈ U, w ∈ W eine lineare Abbildung definiert wird und diese Abbildung p ◦ p = p erfüllt. Bestimmen Sie ferner den Kern und das Bild dieser Abbildung.
(ii) Sei p : V → V eine lineare Abbildung, für die p ◦ p = p gilt. Zeigen Sie: V = ker(p) ⊕ Im(p).

Answer 1

(i) Sei v∈V. Wegen V = U ⊕ W gibt es genau ein Paar (u,w)∈UxW mit v=u+w

also p(v)=p(u+w)=u. Wegen " genau ein" ist also die Abb. wohldefiniert.

Seien nun v1,v2 ∈V mit v1=u1+w1 und v2=u2+w2 dann gilt v1+v2=(u1+u2)+(w1+w2)

also p(v1+v2)=u1+u2=p(v1)+p(v2).

Entsprechend für alle x∈K und v=u+w gilt xv=x(u+w)=xu+xw

==>   p(xv)=xu=xp(v).  Also lin. Abb.

Und für alle v=u+w gilt

p(v)=u  und  p(p(v))=p(u)=p(u+0)=u, also  p(v)=p(p(v)).

v∈ker(p) <=> p(v)=0

                <=> Es gibt w∈W mit v=0+w <=>  v=w <=> v∈W.

                Also ker(p)=W.

u∈Im(p) <=> Es gibt v∈V mit p(v)=u

              Zu dem v∈V gibt es genau ein Paar (u',w) mit v=u'+w

               Also p(v)=u'  Also u=u'  und damit u∈U,

also Im(p)=U