Zeige dass a in (ℝ*,d*) genau dann gegen ∞ konvergiert, wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist.

Question

ℝ*:=ℝ ∪ {−∞,∞}

d*(x,y)=d(f(x),f(y)) ist eine Metrik auf R*, wobei d: ℝ×ℝ→ℝ, d(x,y)=|x-y| die Standardmetrik auf ℝ ist.

Aufgabe:

Sei a: ℕ→ℝ eine Folge. Zeige dass a in (ℝ*,d*) genau dann gegen ∞ konvergiert, wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist.

Answer 1

Moin,

Um zu zeigen, dass a in (ℝ*,d*) genau dann gegen ∞ konvergiert, wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist, müssen wir zwei Aussagen beweisen:

Wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist, dann konvergiert a in (ℝ*,d*) gegen ∞.
Wenn a in (ℝ*,d*) gegen ∞ konvergiert, dann ist a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben.
Um die erste Aussage zu beweisen, nehmen wir an, dass a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist. Das bedeutet, dass für jedes x in ℝ es eine Nummer N gibt, sodass a_n > x für alle n > N.

Da die Folge a in (ℝ*,d*) gegen ∞ konvergiert, müssen für jedes y in ℝ* es eine Nummer M gibt, sodass d*(a_m, ∞) < y für alle m > M. Wir wissen, dass d*(a_m, ∞) = d(f(a_m), f(∞)) = d(a_m, ∞) = ∞, sodass d*(a_m, ∞) < y für alle m > M das gleiche bedeutet wie a_m > y für alle m > M.

Da y beliebig gewählt werden kann, müssen wir auch für y = x eine Nummer M finden können, sodass a_m > x für alle m > M. Dies ist genau die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit a in (ℝ*,d*) gegen ∞ konvergiert.

Um die zweite Aussage zu beweisen, nehmen wir an, dass a in (ℝ*,d*) gegen ∞ konvergiert. Das bedeutet, dass für jedes y in ℝ* es eine Nummer M gibt, sodass d*(a_m, ∞) < y für alle m > M.

Wir wissen, dass d*(a_m, ∞) = d(f(a_m), f(∞)) = d(a_m, ∞) = ∞, sodass d*(a_m, ∞) < y für alle m > M das gleiche bedeutet wie a_m > y für alle m > M.

Da y beliebig gewählt werden kann, müssen wir auch für y = x eine Nummer M finden können, sodass a_m > x für alle m > M. Dies ist genau die Bedingung, die erfüllt sein muss, damit a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist.

Da wir beide Aussagen bewiesen haben, können wir schlussfolgern, dass a in (ℝ*,d*) genau dann gegen ∞ konvergiert, wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist.

Comments

d(f(a_m), f(∞)) = d(a_m, ∞)

Woher hast Du diese Gleichung??

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Die Gleichung "d(f(a_m), f(∞)) = d(a_m, ∞)" ist eine Folge von Gleichungen, die zeigen, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten in der Metrik d* auf ℝ* berechnet.

In der Gleichung werden zwei Funktionen verwendet: f und d. Die Funktion f gibt für jeden Punkt x in ℝ* einen neuen Punkt f(x) in ℝ an. Die Funktion d berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten in ℝ.

Die Gleichung selbst zeigt, dass der Abstand zwischen den Punkten f(a_m) und f(∞) in der Metrik d* gleich dem Abstand zwischen den Punkten a_m und ∞ in der Standardmetrik d ist. Die Gleichung wird verwendet, um zu zeigen, dass die Folge a in (ℝ*,d*) genau dann gegen ∞ konvergiert, wenn a in (ℝ,d) bestimmt divergent nach oben ist.