Beweis Mathe Stellen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Gleichung e^2x − 2 = x^2022 mindestens eine Lösung im Intervall (0, 1) besitzt.

Problem/Ansatz:

Bei dieser Aufgabe komme ich nicht klar. Ich habe versucht die beiden Seiten miteinander gleichzusetzen, indem ich die beiden Seiten logarithmiere. Danach habe ich gemerkt, dass es  dieses Kriterium nicht erfüllt, dass die Gleichung eine Lösung hat.

Ich würde mich über eure Antworten freuen :)

Vielen Dank im Voraus!

Answer 1

Du brauchst nur zeigen, dass es eine Nullstelle für

\(f(x) = e^{2x}-2-x^{2022} \) in \((0,1)\) gibt.

$$f(0) = 1-2-0 = -1<0$$

$$f(1) =e^2 -2-1 > 4-2-1 > 0$$

Laut Zwischenwertsatz muss es eine Nullstelle geben.

Die Aufgabe ist nicht, eine konkrete Lösung anzugeben.

Comments

Danke für deine Antwort

---

Fehlerhinweis
e^2 = 4 

---

@georgborn:
Falsch. Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

---

georgborn hat vermutlich nur das Ungleichheitszeichen übersehen.

Also

e^2 ≠ 4 aber e^2 > 4

---

Nanu

e^(2*x) - 2 - x^2022
x = 1
e ^(2*1)
e^2 = 7.389

1^2022  = 1

7.389 - 2 -1

e^2 - 2 - 1 > 4 - 2 -1
ist zwar richtig, aber wo kommt die 4 her ?

Im Übrigen bin ich dafür ganz Deutschland
zu überdachen.

---

ist zwar richtig, aber wo kommt die 4 her ?

Da hat jemand gewusst, dass e eine Zahl ist, die größer als 2 ist.

Daraus kann man messerscharf schließen, dass e²>4 gilt.

---

@georgborn:

\(e>2 \Rightarrow e^2> 4\)

Eine Folge der Ordnungseigenschaften der reellen Zahlen.

Answer 2

Ich habe versucht die beiden Seiten miteinander gleichzusetzen,

Analytisch kannst du nicht nach x umstellen.

Wenn, dann mit Näherungsverfahren.