Untersuchen Sie mit Begründung, für welche x ∈ R die Reihe konvergiert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie mit Begründung, für welche x ∈ R die Reihe

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{(x^n)/((3^n) - (2^n))} \)

konvergiert.

Problem/Ansatz:

Ich habe wie gefragt ein Spezialfall von Quotientenkriterium benutzt und zwar fast alle Fälle von x betrachtet, Ich finde es aber im Fall

|x|=3 schwierig zu beweisen ob es konvergiert oder divergiert

besonders im Fall von x = -3. Ich habe versucht das mit Leibnizkriterium zu lösen. Ich kriege aber keine Nullfolge sondern Folge die nach 1 geht.

würde mir bitte jemand eine Lösung geben, danke

Answer 1

Aloha :)

Schreibe die Summanden etwas um$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{3^n-2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\cdot x_n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{1}{3^n-2^n}$$sodass du den Konvergenzradius bestimmen kannst:$$r=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{3^n-2^n}}{\frac{1}{3^{n+1}-2^{n+1}}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}-2^{n+1}}{3^n-2^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{3^{n+1}}{3^n}-\frac{2^{n+1}}{3^n}}{\frac{3^n}{3^n}-\frac{2^n}{3^n}}$$$$\phantom r=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3-2\left(\frac23\right)^n}{1-\left(\frac23\right)^n}=\frac{3-2\cdot0}{1-0}=3$$Die Reihe konvergiert also für \(|x|<r=3\).

Für die Randfälle \(x=\pm3\) gilt:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(\pm3)^n}{3^n-2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{(\pm1)^n\cdot3^n}{3^n-2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty(\pm1)^n\frac{1}{1-\left(\frac23\right)^n}$$Der Betrag der Summanden konvergiert für \(n\to\infty\) gegen \(1\), daher bilden sie keine Nullfolge und die Reihe konvergiert für \(x=\pm3\) nicht.

Comments

was ist genau Konverganzradius? ist der die Zahlen unter oder über 3 oder 3 selbst?

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Ich hatte meine Antwort noch ergänzt. Für \(x=\pm3\) liegt keine Konvergenz vor.