Erklären Sie die darstellende Matrix einer linearen Abbildung zu gewählten Basen.
Ist f eine lineare Abbildung vom n-dimensionalen Vektorraum V zum
m-dimensionalen Vektorraum W und sind \( A= (v_1, \dots, v_n ) \) und
\( B= (w_1, \dots, v_m ) \) Basen von V bzw. W, dann gibt es zu jedem v∈V und w∈W
eindeutig bestimmte Koordinatenvektoren \( \begin{pmatrix} a_1\\\dots\\a_n \end{pmatrix} \)bzw. \( \begin{pmatrix} b_1\\\dots\\b_m \end{pmatrix} \)
mit \( v= \sum \limits_{i=1}^n a_iv_i \) und \( w= \sum \limits_{i=1}^m b_iw_i \).
Und die Matrix M von f bzgl. der Basen A und B ist dann diejenige , für die
\( M \cdot \begin{pmatrix} a_1\\\dots\\a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1\\\dots\\b_m \end{pmatrix} \) gilt, wenn \(f(v)=w\).
Bei dir also: \(f: \mathbb{R}^2 \mapsto \mathbb{R}^2 , e_1 → 3·e_1 + 2·e_2, e_2 → e_1 - 4·e_2\)
Die Basen sind also für Original und Bild die gleichen \( (e_1,e_2) \).
Durch die Vorgabe \( e_1 → 3·e_1 + 2·e_2, e_2 → e_1 - 4·e_2\) hast du für die
gesuchte Matrix also zu erfüllen
\( M \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\2 \end{pmatrix} \) und \( M \cdot \begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\-4 \end{pmatrix} \).
Zusammengefasst \( M \cdot \begin{pmatrix} 1&0\\0&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3&1\\2&-4 \end{pmatrix} \)
Das ist kurz \( M = \begin{pmatrix} 3&1\\2&-4 \end{pmatrix} \).
Und du siehst: Wenn man in beiden Räumen die Standardbasis wählt, sind die
Koordinatenvektoren der Bilder die Spalten der Matrix.
