Darstellungsmatrizen und Basiswechsel

Question

Aufgabe: Gegeben seien die Basen

B= { e₁ := \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) , e₂ := \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) } und

C= { c₁ := \( \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) , c₂ := \( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) }

des Vektorraumes ℝ² und die lineare Abbildung L : ℝ² →  ℝ² eindeutig bestimmt durch

L \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 3/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \) und

L \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \end{pmatrix} \)

a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix des Basiswechsels von B nach C.

b)Bestimmen Sie die Darstellungsmatrizen MBB(Die B sollen hier hoch und tiefgestellt sein)(L) und MCC(L) der linearen Abbildung L in den

jeweiligen Basen.

Problem/Ansatz:

a) Ich hab das Inverse der Matrix C = \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) berechnet

=> \( \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \) und dann

Tranformationsmatrix des Basiswechsels von B nach C => C^-1 B = \( \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \)

Ist das so korrekt für die a) ?

Meine Frage zur b) Kann mir jemand sagen wie MBB(L) auszusehen hat als Matrix? Also die Darstellungsmatrix von L in der Basis B?

MCC(L) versuche ich dann selbst weiter.

Answer 1

Aloha :)

Teil a) hast du richtig bestimmt.

In Teil b) sind die Koordinaten der Eingangsvektoren und der Ergebnisvektoren bezüglich der Standardbasis \(B\) gegeben, denn eine andere wird nicht benannt. Du kannst die beiden bekannten Gleichungen:$$M^B_B\cdot\binom{1}{0}=\binom{3/2}{1/2}\quad;\quad M^B_B\cdot\binom{0}{1}=\binom{1/2}{3/2}$$in eine Matrixgleichung schreiben:$$M^B_B\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3/2 & 1/2\\1/2 & 3/2\end{pmatrix}$$und hast dann, weil die Multiplikation mit der Einheitsmatrix "nichts tut", bereits die gesuchte Matrix \(M^B_B\) gefunden. (Sonst müsstest du von rechts die inverse Matrix multiplizieren, um \(M^B_B\) alleine zu erhalten.)

Für Teil c) kannst du die Basiswechselmatrix \(\mathbf{id}^B_C\) aus Teil a) nutzen:

$$M^C_C=\mathbf{id}^B_C\cdot M^B_B\cdot\mathbf{id}^C_B=\mathbf{id}^B_C\cdot M^B_B\cdot\left(\mathbf{id}^B_C\right)^{-1}$$

Comments

Danke schön :)

Folglich habe ich dann:

 \(M^C_C=\)  \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)