Darstellungsmatrizen von Linearen Abbildungen

Question

Aufgabe:

$$\text{Gegeben sei die lineare Abbildung f:} \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \ mit \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \rightarrow {\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5&6&7\end{pmatrix}} \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}. \\ \text{Berechne die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis } \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} \\$$

Wie berechne ich bei solchen Aufgabenstellungen die Darstellungsmatrizen? Bitte nur Ansätze und keine Lösungen.

Comments

Bitte nur Ansätze und keine Lösungen.

Der erste Schritt ist, die Definition von "Darstellungsmatrix" im Lehrmaterial nachzuschlagen. Dann kommt nur noch Rechnung

Answer 1

Berechne von jedem Basisvektor v das Bild f(v) und stelle dieses mit den drei

Basisvektoren dar.

Also etwa für den ersten Basisvektor v₁ so

\( f(v_1) = a\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}+c \begin{pmatrix} 1\\2\\3  \end{pmatrix} \\\)

Und die a,b,c bilden die erste Spalte der gesuchten Matrix.

Entsprechend mit f(v₂) die 2. Spalte etc.