Sonnensegel im dreidimensionalen Koordinatensystem

Question

Aufgabe:

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Aufgabe H2 - Sonnensegel
Betrachtet werden Sonnensegel, die als Dreiecke modelliert werden. Sie sind mit zwei Eckpunkten in \( A(1|9| 3) \) und \( B(2|1| 2) \) sowie an einer Haltestange befestigt. Die Haltestange ist 4 Meter lang und steht im Punkt \( F(5|5,5| 0) \) senkrecht zur \( x y \)-Ebene.
Alle Koordinaten werden in der Einheit Meter \( (\mathrm{m}) \) angegeben. Die \( x y \)-Ebene stellt den Boden dar.
a) Ein Sonnensegel wird im Punkt \( C(5|5,5| 2) \) an der Haltestange befestigt.
Zeigen Sie, dass die Kanten \( \overline{C A} \) und \( \overline{C B} \) dieses Sonnensegels gleich lang sind und das Sonnensegel somit die Form eines gleichschenkligen Dreiecks hat.
[6 BE]
b) Bestimmen Sie den Winkel des Sonnensegels im Eckpunkt \( C \).
[3 BE]
c) Berechnen Sie die Größe der Fläche dieses Sonnensegels.
[4 BE]
d) An der Haltestange können unterschiedliche Sonnensegel in beliebiger Höhe befestigt werden. Untersuchen Sie, ob es Befestigungspunkte \( D(5|5,5| z) \) an der Haltestange gibt, sodass das jeweils zugehörige Sonnensegel die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat. Der rechte Winkel soll dabei im Befestigungspunkt an der Haltestange liegen.
[5 BE]

Problem/Ansatz: Hallo, bei dir der Aufgabe habe ich lediglich Schwierigkeiten bei c) und d). A und B habe ich soweit geschafft. Bei d) wäre mein Ansatz, die Spurpunkte auszurechnen, aber dann komme ich auch nicht weiter. Bei c) habe ich keinen Ansatz. Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Hallo,

zu Aufgabenteil c)

eine Möglichkeit, den Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum zu berechnen, ist die Anwendung des Kreuzprodukts. Du stellst zwei Vektoren auf, die vom gleichen Punkt des Dreiecks ausgehen, z.B. CA und CB, berechnest das Kreuzprodukt und anschließend den Betrag von diesem neuen Vektor. Teile das Ergebnis noch durch 2 und du hast den Flächeninhalt des Dreiecks. (14,5 FE)

Gruß, Silvia

Comments

Vielen lieben Dank

Answer 2

c) Berechnen Sie die Größe der Fläche dieses Sonnensegels.

A = 1/2·|[-4, 3.5, 1] ⨯ [-3, -4.5, 0]| = 14.50 m²

d) An der Haltestange können unterschiedliche Sonnensegel in beliebiger Höhe befestigt werden. Untersuchen Sie, ob es Befestigungspunkte D(5|5.5|z) an der Haltestange gibt, sodass das jeweils zugehörige Sonnensegel die Form eines rechtwinkligen Dreiecks hat. Der rechte Winkel soll dabei im Befestigungspunkt D an der Haltestange liegen.

DA = [1, 9, 3] - [5, 5.5, z] = [-4, 3.5, 3 - z]
DB = [2, 1, 2] - [5, 5.5, z] = [-3, -4.5, 2 - z]

DA·DB = [-4, 3.5, 3 - z]·[-3, -4.5, 2 - z] = 0 → z = 0.5 ∨ z = 4.5