Zeigen oder widerlegen Sie, ob die Äquivalenzklassen a und b gleich sind.

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie, ob die Äquivalenzklassen a und b gleich sind.

Problem/Ansatz:

Wir betrachten die Äquivalenzklassen \( a=[1782]_n \) und \( b=[2200]_n \) für \( n=20\: , \:\: n=38 \:\: , \:\: n=43 \)

Also ich weiß, dass ÄKs gleich sind, wenn gilt: \( a \equiv_n b \Leftrightarrow rem(a,n) = rem(b,n) \)

Reicht es dann tatsächlich schon,  \( rem(1782 , 20) = 2 \neq rem(2200  ,  20) = 0 \Rightarrow 2 \neq 0 \Rightarrow a \neq b \) zu sagen? Natürlich auch analog für die anderen n

Answer 1

Deine Vorgehensweise ist völlig korrekt.

Du schaust dir für jeden Modul n einfach nur an, welcher Rest sich ergibt. Wenn die Reste gleich sind, sind die Klassen gleich. andernfalls sind sie verschieden.

Zum Beispiel:

\(1782 \mod 38 = 34 = 2200   \mod 38\)

Also sind die Klassen in diesem Fall gleich.

Comments

Super, das freut mich, Dankeschön!

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Bitteschön und gesundes neues. :-)

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Hey, in der nächsten Aufgabe wurde ich nach einem Repräsentanten des Produkts \( ab \) gefragt, der zwischen 0 und. \( n-1 \) liegt. Da stellt sich mir die Frage, ob diese Module n alle auch Repräsentanten sind? Oder sind die Repräsentanten der Rest selbst? Danke dir!

Answer 2

\([a]_n=[b]_n\iff n \, | \, (b-a)\), also muss man nur prüfen, ob

b-a=418 jeweils durch 20, 38 oder 43 teilbar ist.

Comments

Stimmt, so geht es ja sogar noch schneller, danke!