Definitions- und Wertebereich von f(x) = x*sqrt(x/(x-2))

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich sowie die Wendestellen der Funktion \( f(x)=x \cdot \sqrt{\frac{x}{x-2}} \).

Problem/Ansatz:

Definitionsbereich ist klar: R\(0;2]. Bei dem Wertebereich hab ich keine Ahnung, wie man darauf kommt. Evtl. das rel. Min berechnen, aber die untere Grenze erschließt sich mir nicht. Wolfram Alpha sagt folgendes:

\( \{y \in \mathbb{R}: y \leq 0 \) or \( y \geq 3 \sqrt{3}\} \)

Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

vielleicht hilft der Funktionsgraph weiter.

Comments

Zeichnen lassen habe ich ihn auch schon, aber wie kommt man da rechnerisch drauf? ^^

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Du musst die Fälle x>2 und x≤0 unterscheiden.

x>2:

Die erste Ableitung hat eine Nullstelle bei x=3 mit Vorzeichenwechsel von minus nach plus. Daher liegt dort ein lokales Minimum vor.

\( \frac{d}{d x}\left(x \sqrt{\frac{x}{x-2}}\right)=\frac{(x-3)\left(\frac{x}{x-2}\right)^{3 / 2}}{x} \)

Bei x=2 liegt eine Polstelle vor. Daher ist y≥f(3) für x>2.

x≤0:

Für negative x-Werte ist die erste Ableitung positiv und f(x) negativ bzw. gleich Null. Also ist hier y≤0.

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Beim Definitionsbereich ist die Null auch verboten, da für x=0 unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

\(\frac{0}{-2}\) ist nicht negativ.

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Beim Definitionsbereich ist die Null auch verboten, da für x=0 unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Aso...

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@abakus:

Stimmt. Da habe ich mich verdacht.

Ich habe meine Antwort korrigiert.

@az0815:

Tja.

:-)

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Vielen dank :)