Integration über Normalbereich

Question

Sei \( K \) die Kreisscheibe um \( (0,1) \) mit Radius 2. Bestimmen Sie \( \int \limits_{K}\left(x^{2}+3 y^{2}+1\right) \mathrm{d}(x, y) \).

Wie stellt man die Aufgabe in den Normalbereich:

K= { (x,y) E R^2: x^2+ (y-1)^2 <= 4 }

= { (x,y) E R^2: -2 <= x <= 2,
                          -(4-x^2)^1/2  +1 <= y <=  (4-x^2)^1/2 }

dar? Ich verstehe hierbei nicht den Schritt, wie man von der Aufgabenstellung zum oben angegebenen Normalbereich kommt. Für eine Erklärung wäre ich sehr dankbar.

Answer 1

die Kreisscheibe um \( (0,1) \) mit Radius 2 erstreckt sich in x-Richtung

von -2 bis 2 , also -2 ≤x≤2.

Die Kreisgleichung ist x^2 + (y-1)^2 = 4

==>                 (y-1)^2 = 4-x^2

Also läuft der Wert von y-1 immer von -√(4-x^2) bis √(4-x^2)

also das y von 1 -√(4-x^2) bis   1 + √(4-x^2)

Das "  1+ .... "  fehlte bei dir.