Berechnen Sie das Integral \int_{B}^{} \frac{1}{xy} über den Normalbereich

Question

Aufgabe:

Im ersten Quadranten der xy-Ebene sei der Bereich

B = {(x,y) : x³ ≤ y ≤ 3x³ , 2 ≤ xy ≤ 4, x > 0}

Berechnen Sie das Integral \( \int\limits_{B}^{} \) \( \frac{1}{xy} \) über den Normalbereich

Problem/Ansatz:

Hey Leute,

ich habe jetzt schon so viele Normalbereich Aufgaben gemacht, aber an dieser verzweifel ich.

Bisher habe ich immer die begrenzenden Funktionen gezeichnet, aber das geht hier ja schlecht

Wie bestimme ich die Grenzen des Normalbereichs, meine Idee wäre gewesen das xy nach nur einer Variable umzuformen und dann die Funktion y bspw. in abhängigkeit von x zu zeichnen. Ist das möglich?

Danke für die Hilfe :)

Answer 1

Den Bereich \(B\) kannst du durch eine Variablentransformation in einen Normalbereich überführen. Danach integrierst du mit der Substitutionsregel.

Eine Möglichkeit ist

$$u=x, v=xy \Rightarrow \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \left|\det \begin{pmatrix}1 & 0 \\ y & x\end{pmatrix}\right| = x = u$$

$$\Rightarrow \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac 1u$$

$$B(u,v): \: 2\leq v \leq 4,\: x^4\leq \underbrace{xy}_{=v} \leq 3x^4$$

$$\int_{B(x,y)}\frac 1{xy}\, d(x,y) = \int_{B(u,v)}\frac 1{v}\cdot \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \, d(u,v) = \int_{B(u,v)}\frac 1{uv}\, d(u,v) $$

$$= \int_2^4\frac 1v \int_{\sqrt[4]{\frac v3}}^{\sqrt[4]{v}}\frac 1u \; du \; dv$$

$$ = \frac 14\ln 3 \ln 2 \approx 0.19$$

Integralberechnung hier.

Probe mit Mathematica siehe Bild: