Berechne das folgende Integral: \int_{-1}^{1} \frac{x2017}{cos508(x)}

Question

Aufgabe:

Berechne das folgende Integral: \( \int\limits_{-1}^{1} \) \( \frac{x^{2017}}{cos(x)^{508}} \)

Problem/Ansatz:

Leider habe ich gar keinen Ansatz.

Substitution und Partielle Integation haben mir so direkt auch nicht wirklich geholfen.

Auch hatte ich überlegt, cos⁵⁰⁸ (x) als (1-sin(x))²⁵⁴ umzuschreiben, allerdings erhalte ich beim integrieren dadurch wieder irgendetwas mit cos, was aber unpraktischer wäre, da sin(1)=0 aber cos(x) keine ganze Zahl ist.

Also habe ich keinen richtigen Ansatz.

Comments

Versuche mal, das Integral nicht zu berechnen, sondern als Denksportaufgabe zu lösen.

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Möglicherweise handelt es sich hier um eine zum Ursprung punktsymmetrische Funktion. Dann müsste das Integral auch ohne weitere Berechnungen gleich Null sein.

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@ Arsinoë4

schade du hast die Denksportaufgabe verdorben.

lul

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Danke schonmal für eure Antworten :)

Ich hab die Funktion jetzt mal geplottet und es sieht aus, als ob das integral Null wird.

Aber, wie beweise ich das? Bzw., muss ich für den Beweis das Integral konkret berechnen, oder beweist man das eher Argumentativ/ formal?

Oder kann man das irgendwie über Grenzwertprozesse machen?

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Hallo

 über das Argument von Arsinoë4, solange oben ein ungerader Exponent steht kannst du irgendeinen nehmen , unten auch !

lul

Answer 1

Warum ist das Integral \(\int_{-a}^a f(x)dx=0\), wenn f ungerade ist?
Nach der geometrischen Anschauung ist das klar.

Als Ergänzung hier eine formale Begründung:

\(f\) ungerade bedeutet \(f(-x)=-f(x)\; \forall x\in D_f\).

Wir untersuchen \(\int_{-a}^0 f(x)dx\)

Man substituiere \(y=-x\), also \(dx=-dy\). Dann ist das Integral

\(=\int_{y=a}^{y=0} f(-y)(-dy)=\int_{y=a}^0f(y)dy=-\int_0^{a}f(y)dy\),

nach Umbenennung der Integrationsvariablen also \(-\int_0^af(x)dx\).

Damit wird

\(\int_{-a}^a f(x)dx=\int_{-a}^0 f(x)dx+\int_0^a f(x)dx=\)

\(=-\int_0^a f(x)dx+\int_0^a f(x)dx=0\).

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Vielen Dank für deine Antwort :)

Mit dem formalen Beweis müsste es gehen :)

Answer 2

\(x^{2017}\) ist ungerade.

\(\cos(x)^508\) ist gerade.

Somit ist der Quotient ungerade. Das rechnet man mittels der Definition von geraden und ungeraden Funktionen nach.

Weil der Integrationsintervall symmetrisch zur 0 ist, ist das Integral 0.

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Vielen Dank für deine Antwort :)

Leider darf ich so nicht argumentieren, da wir die Definitionen zum Teil noch nicht hatten.

Answer 3

Aloha :)

Kurze Erklärung des "Tricks"

Du kannst den Integranden \(f(x)\) in zwei Anteile \(u(x)\) und \(g(x)\) zerlegen:$$f(x)=\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2}=\underbrace{\frac{f(x)+f(-x)}{2}}_{=g(x)}+\underbrace{\frac{f(x)-f(-x)}{2}}_{=u(x)}$$Dabei ist \(u(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung und \(g(x)\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Wenn die Integrationsgrenzen \((-a)\) und \((+a)\) symmetrisch um den Urpsrung herum liegen, verschwindet das Integral über den punktsymmetrischen Anteil \(u(x)\):$$I=\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{-a}^a(g(x)+u(x))\,dx=\int\limits_{-a}^a g(x)\,dx+\underbrace{\int\limits_{-a}^a u(x)\,dx}_{=0}$$Daher gilt:$$I=\int\limits_{-a}^a f(x)\,dx=\int\limits_{-a}^a \frac{f(x)+f(-x)}{2}\,dx$$Diesen "Trick" kannst du immer anwenden, wenn das Integrationsintervall symmetrisch um den Urpsrung herum liegt.

Anwendung auf das konkrete Beispiel

Wir bestimmen nun den achsensymmetrischen Anteil \(g(x)\) für die vorliegende Funktion:$$g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=\frac{\frac{x^{2017}}{\cos(x)^{508}}+\frac{(-x)^{2017}}{\cos(-x)^{508}}}{2}=\frac{\frac{x^{2017}}{\cos(x)^{508}}-\frac{x^{2017}}{\cos(x)^{508}}}{2}=0$$Beachte, dass \(\cos(-x)=\cos(x)\) gilt. Damit haben wir:$$I=\int\limits_{-1}^1f(x)\,dx=\int\limits_{-1}^1g(x)\,dx=\int\limits_{-1}^10\,dx=0$$

Comments

Vielen Dank für deine Antwort :)

Dein Beweis ist sehr schön, nur leider haben wir die Begriffe punktsymmetrisch, achsensymmetrisch etc. nicht definiert, deshalb glaub ich nicht, dass ich so argumentieren darf.