Uneigentliches Integral auf Konvergenz untersuchen: \(\int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(x)}{x} \, dx \)

Question

hier ist die Aufgabe:

\(\int_{0}^{\infty } \! \frac{sin(x)}{x} \, dx\)

Ich habe das majorantenkriterium angewendet.

\(\frac{sin(x)}{x} <= 1/x -> \lim_{x \to \infty} < 1\) -> konvergent... ist das richtig so?

aber das sieht ja aus wie die harmonische reihe und da ich im nenner x^1 habe, müsste es divergieren... aber das konvergiert ja eindeutig...

mfg

Answer 1

siehe hier:

https://mathepedia.de/Konvergenzkriterien_Uneigentliche_Integrale.html

Comments

ok also soweit ich verstanden habe muss ich folgendes tun... da ichs ja nicht auswendig lernen kann habe ich mal folgendes versucht.

0 bis 1 zu erst und da kommt mit dem majorantenkriterium. 1/x raus und das ist konvergent da der exponent von x = 1 ist, da wir ja von 0 bis a integrieren, a = 1 hier...

1 bis unendlich:

sin(x)/x partiell integrieren... und am ende merkt man, dass das ergebnis < unendlich ist:

cos(1)/1 - \(\int_{1}^{\infty } \! \frac{1}{x^2}  \, dx\) -> das integral von 1 bis unendlich ist konvergent und cos(1) ist ja auch endlich... also folgt mit dem integralvergleichskriterium, dass das ganze konvergent ist, da der erste teil ja auch konvergent war.

so?

mfg

---

----------------------------------