Konvergenz uneigentliches Integral \int\limits_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{|x^4-1|}}

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie das folgende Integral mit Vergleichskriterium auf Konvergenz:

\( \int\limits_{0}^{\infty} \)\( \frac{dx}{\sqrt{|x^4-1|}} \)

Problem/Ansatz:

Ich habe das Integral aufgespalten in:

\( \int\limits_{0}^{1} \)\( \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \) + \( \int\limits_{1}^{\infty} \)\( \frac{dx}{\sqrt{x^4-1}} \)

und bewiesen, dass das erste Teilintegral konvergent ist. Beim zweiten hab ich den Ansatz, dass es kleiner als

\( \int\limits_{1}^{\infty} \)\( \frac{c}{x^2} dx\) sein muss ab einem bestimmten x aber ich weiß nicht wie ich Konvergenz beweisen kann.

Answer 1

Beim zweiten hab ich den Ansatz, dass es kleiner als\( \int\limits_{1}^{\infty} \)\( \frac{c}{x^2} dx\) sein muss ab einem bestimmten x aber ich weiß nicht wie ich Konvergenz beweisen kann.

\( \int\limits_{1}^{\infty} \)\( \frac{1}{x^2} dx\)

= \( \lim\limits_{a\to\infty}\int\limits_{1}^{a} \)\( \frac{1}{x^2} dx\)

= \( \lim\limits_{a\to\infty}[ -\frac{1}{x}]_1^a\)

= \( \lim\limits_{a\to\infty}(-\frac{1}{a}-(-\frac{1}{1}))\)

= 0+1 bekommst du wirklich nicht hin?

Comments

Meinst du ernsthaft, dass \(\displaystyle\frac1{\sqrt{x^4-1}}<\frac1{x^2}\) für alle \(x>1\) gilt?

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Vielen Dank, ich muss mich wirklich entschuldigen das war ja eine totale Denkblockade meinerseits. Danke!

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Nochmal kurz, dass das nicht kleiner als \( \frac{1}{x^2} \) ist, ist mir schon klar, aber wenn ich statt dem 1 ein c nehme, also \( \frac{c}{x^2} \), dann sollte das doch auf jeden Fall für jedes c ab einem bestimmten x gelten oder?

Answer 2

Vielleicht sollte man auch das zweite Teilintegral aufspalten und auf verschiedene Art und Weisen abschätzen. Wenn ich mich nicht verrechnet habe sollte gelten:$$\int_1^\infty\frac1{\sqrt{x^4-1}}\,\mathrm dx<\int_1^2\frac{x^3}{\sqrt{x^4-1}}\,\mathrm dx+\int_2^\infty\frac1{x^2-1}\,\mathrm dx=\tfrac12\sqrt{15}+\tfrac12\log(3).$$