Logistisches Wachstum (Die Fig. 2 zeigt die Bevölkerungsentwicklung der USA in den letzten 200 Jahren.)

Question

Aufgabe:

Die Fig. 2 zeigt die Bevölkerungsentwicklung der USA in den letzten 200 Jahren. a) Wählen Sie vier Wertepaare aus und führen Sie mit der angenommenen Sättigungsgrenze S = 350 (in Mio.) eine Funktionsanpassung durch, wenn logistisches Wachstum vorliegt. Welche Bevölkerungszahl erwarten Sie demzufolge im Jahr 2010? Vergleichen Sie mit Schätzungen des U.S. Census Bureau (http://www.census.gov).

b) Benutzen Sie ein Tabellenkalkulations- bzw. CAS-Programm für die folgenden Überlegun gen. Nehmen Sie eine Funktionsanpassung mit allen Wertepaaren vor, wenn logistisches Wachstum vorausgesetzt wird. Verändern Sie die Sättigungsgrenze S und beurteilen Sie das jeweilige Ergebnis Ihrer Funktionsanpassung.

Jahr & Bevölkerung (in Mio.) \\

1790 & 3,93 \\
1810 & 7,24 \\
1830 & 12,87 \\
1850 & 23,19 \\
1870 & 38,56 \\
1890 & 62,95 \\
1910 & 92,41 \\
1930 & 123,08 \\
1950 & 152,27 \\
1970 & 205,05 \\
1990 & 249,44

Fig. 2

Problem/Ansatz:

Moin allerseits,

ich hab zurzeit ein Problem mit dieser Aufgabe. Es geht um logistisches Wachstum jedoch habe ich es selbst versucht und im Internet recherchiert und nichts gefunden und hab deshalb kein richtigen Ansatz gefunden. Vielleicht könnt ihr mir dabei helfen?

(Fig. 2 ist die Wertetabelle)

Comments

im Internet recherchiert und nichts gefunden

Das erstaunt nicht. Verwende ein Lehrbuch.

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Meinte eher das ich im Internet einen Ansatz gesucht hab mit dem ich weiterarbeiten kann (z.B eine Lösung oder Formel). Das Schulbuch hat mir bei der Aufgabe nicht weitergeholfen.

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Stell Figure 2 einmal ein.
Wenn du nichts weißt wie das geht
sende ein Foto als jpg Datei an meine
e-mail Adresse
georg.hundenborn@t-online.de

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Was kannst du an Figure 2 nicht erkennen? Dann helfe ich gerne aus

Jahr & Bevölkerung (in Mio.) \\

1790 & 3,93 \\
1810 & 7,24 \\
1830 & 12,87 \\
1850 & 23,19 \\
1870 & 38,56 \\
1890 & 62,95 \\
1910 & 92,41 \\
1930 & 123,08 \\
1950 & 152,27 \\
1970 & 205,05 \\
1990 & 249,44

Fig. 2

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Hallo Mathecoach,

ich verstehe leider nicht was genau gefordert wird bei denn beiden Aufgaben bzw. wie genau die Funktionsanpassung bei a) funktioniert mit denn Wertepaaren aus der Tabelle.

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Hier Figure 2

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Das Schulbuch hat mir bei der Aufgabe nicht weitergeholfen.

Findest Du dort eine Formel für logistisches Wachstum? Wenn nein, ist es das falsche Schulbuch; wenn ja, welche?

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Aufgabe : Leiten Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des logistischen
Wachstums 2 mal ab
und zeigen Sie das der Wendepunkt bei S/2
liegt.

Answer 1

Logistisches Wachstum allgemein

f ( t ) = G * 1 /
            ( 1 + [ e^( -k *G * t) *  ( G / f(0) - 1 ) ]

G = obere Schranke = 350 Mio
t = 1790 = 0
f ( 0 ) = 3.93 Mio

Eingesetzt
f ( t ) = 350 * 1 /
          ( 1 + [ e^( -k * 350 * t) *  ( 350 / 3.93 - 1 ) ]

t = 1990 -1790 = 200
f ( 200 ) = 249.44
f ( 200 ) =  249.44 =
            350 * 1 /
          ( 1 + [ e^( -k * 350 * 200) *  ( 350 / 3.93 - 1 ) ]
k = 0.0000769495

Bitte alles nachprüfen

Comments

a) Wählen Sie vier Wertepaare aus und führen Sie mit der angenommenen Sättigungsgrenze S = 350 (in Mio.) eine Funktionsanpassung durch

Wo hast du 4 Wertepaare benutzt?

Deutet eine Funktionsanpassung nicht eher auf die Methode der kleinsten Fehlerquadrate hin?

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Wo hast du 4 Wertepaare benutzt ?

Ich habe erst einmal eine Berechnung
vorgeschickt um zu sehen ob ich
überhaupt richtig angesetzt habe .

Bevor ich mich dumm und dämlich
rechne : Man könnte auch aus 4 Wertepaaren
den k Wert berechnen und dann mitteln.

Die vier gefundenen Funktionen könnte
man auch als Graphen zeichnen um eine
bessere Übersicht zu haben.

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Für k = 0.000077
und die Funktion 2 mal abgeleitet
und zu null gesetzt
ergibt
t = 166  ( + 1790 )
als Wendepunkt

Answer 2

Die gegebene Wertetabelle zeigt noch kein logistisches Wachstum:

Aber was nicht ist, kann ja noch werden. Dann muss die Bevölkerungszahl ab 1970 stärker abnehmen, als sie vorher zugenommen hat.

Answer 3

Ich denke das ist eine Aufgabe für die methode der kleinsten Quadrate

Die Näherung sieht einigermaßen ok aus.

Comments

Da die Aufgabe noch weiter geht
Aufgabe : Leiten Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung des logistischen
Wachstums 2 mal ab
und zeigen Sie das der Wendepunkt bei S/2
liegt.
Wie lautet deine Ausgleichsfunktion ?

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Wie lautet deine Ausgleichsfunktion ?

Diese Frage ist unabhängig von der erweiterten Aufgabe, denn ihre Aussage gilt für die von dir oben angegenbene allgemeine Gleichung des log. Wachstums. (G = S)

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k = 0.000077 ? Fülltext.

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Die Herleitung für den Wendepunkt steht hier.

https://de.wikipedia.org/wiki/Logistische_Funktion

@georgborn: Was meinst Du mit Fülltext?

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k = 0.000077 ? Fülltext.

Ein Kommentar muß min 20 Buchstaben
enthalten, deshalb habe noch etwas
nutzlosen Text hinzugefügt.

Stimmt k = 0.000077 ?

Kalenderspruch des Tages
Wer allem gegenüber offen ist
kann nicht ganz dicht sein.

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Je nach verwendetem Algorithums variieren die Ergebnisse minimal. Aber bis 6 Stellen hinterm Komma kommt immer dasselbe raus.

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Die quadratische Summe, die minimiert werden soll ergibt dann mit dem so gefundenen \( k \)

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Ullim,
du machst es mir etwas schwer.
Hast du k = 0.000077 heraus ?

Witz des Tages
Warum beantworten Sie eine Frage immer
mit einer Gegenfrage ?
Warum nicht ?

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Ja \( k = 0.000077 \) ist mein Ergebnis