Logistisches Wachstum, berechne Parameter, ln

Question

Aufgabe: Ein Unternehmen führt ein neues Produkt ein. Es gibt 5000 potenzielle Nutzer des Produktes. Eine Umfrage zeigt, dass 25% der potenziellen Nutzer das Produkt nicht verwenden möchten. Bei Markteinführung (t=0) gab es 200 Nutzer und nach 6 Monaten bereits 1500. Die Verbreitung des Produktes folgt dem logistischen Wachstumsmodell, da die Wachstumsrate mit zunehmender Marktsättigung abnimmt. Die Anzahl N(t) der Nutzer der Software nach t Monaten nach der Markteinführung kann durch die folgende logistische Wachstumsfunktion

N(t)= b/ ρ + (1- ρ)e^-ct für t>= 0 und mit reellen Parametern b, c > 0 und 0 < ρ < 1 beschrieben werden.

a) berechne b, c und ρ.

b= 5000 * 0.75 = 3750.

c (unsicher über das Ergebnis)

N(6)=1500= 3750 / ρ +(1-ρ)e^-c*6 | *(ρ+(1-ρ)*e ^-c*6 )
(ρ+(1-ρ)*e ^-c*6) = 3750/1500
1 * e ^-c*6 = 2.5 | ln()
-c*6 = ln(2.5)

-c= ln(2.5)/6 | /(-1)
c= -ln(2.5/6) = -0,1527 gerundet.

Wie ich berechne ρ ist mir aktuell unklar.

N(6)= 1500= 3750/ ρ +(1-ρ)e ^-(-0.1527)*6 | e ^0.9162 = rund 2.5

ρ +(1-ρ)*2.5= 3750/1500
ρ +2.5-2.5ρ = 2.5
2.5-1.5ρ  = 2.5 | -2.5
-1.5ρ  = 0  | ???

Schonmal Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Ich empfehle die Berechnung der Parameter in folgender Reihenfolge:

N(0) = b = 200

lim (t → ∞) N(t) = b/p = 3750 --> p = 4/75

N(6) = 1500 --> c = LN(71/6)/6 ≈ 0.41182