Hilfe mit vollst. Induktion

Question

Aufgabe:

3*∑(k=0, n-1) 5^(n-1-k)*2^k = 5^n - 2^n

induktiv beweisen

Problem/Ansatz:

ich komme soweit dass ich beim Induktionsschritt die Induktionsvoraussettung eingesetzt habe und dann für meine linke seite 3*(5^n - 2^n + 5^(n-1-n) * 2^n) erhalte. (ob das bis hier hin richtig ist - keine ahnung!). Ich krieg dieses Term aufjedenfall nicht richtig umgeformt damit da am ende die rechte seite meiner IV mit n+1 steht. ich weiß nicht mehr weiter. hilfe

Answer 1

IS: n → n + 1

3·∑(k = 0 bis n + 1 - 1)(5^(n + 1 - 1 - k)·2^k)
= 3·∑(k = 0 bis n)(5^(n - k)·2^k)
= 3·∑(k = 0 bis n - 1)(5^(n - k)·2^k) + 3·(5^(n - n)·2^n)
= 3·∑(k = 0 bis n - 1)(5·5^(n - 1 - k)·2^k) + 3·(5^0·2^n)
= 5·3·∑(k = 0 bis n - 1)(5^(n - 1 - k)·2^k) + 3·2^n
= 5·(5^n - 2^n) + 3·2^n
= 5·5^n - 5·2^n + 3·2^n
= 5^(n + 1) - 2·2^n
= 5^(n + 1) - 2^(n + 1)

Answer 2

Die Summe von k=0 bis (n-1) soll 5^n - 2^n sein.

Wenn du jetzt statt bis (n-1) bis n summierst, kommt der zusätzliche Summand \(3\cdot 5^{n-1-n}\cdot 2^n\) dazu.

Du musst also zeigen, dass \((5^n-2^n)+3\cdot 5^{-1}\cdot 2^n=5^{n+1}-2^{n-1}\) gilt.

Die 3 solltest du hier als (5-2) schreiben...

Comments

Ich kann nicht erkennen, dass die Gleichung

$$(5^n-2^n)+3 \cdot 5^{-1} \cdot 2^n=5^{n+1}-2^{n-1}$$

gilt.

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Diese Gleichung kann der Fragensteller nicht zeigen, weil sie falsch ist.

Answer 3

Aloha :)

Du hattest schon mal so eine Rechenaufgabe, in der geschicktes Umformen hilfreich war. Hier ist es ganz ähnlich. Die Behauptung lautet:$$3\sum\limits_{k=0}^{n-1}5^{n-1-k}\cdot2^k=5^n-2^n$$

Für \(n=1\) kommt auf beiden Seiten \(3\) heraus, daher ist die Verankerung klar und ich spare mir hier das explizite Aufschreiben. Der Induktionsschritt könnte so aussehen:$$3\sum\limits_{k=0}^{(n\pink{+1})-1}5^{(n\pink{+1})-1-k}\cdot2^k=3\sum\limits_{k=0}^{n}5^{n-k}\cdot2^k=3\left(\underbrace{5^{n-n}\cdot2^n}_{k=n}+\green5\sum\limits_{k=0}^{n-1}5^{(n\green{-1})-k}\cdot2^k\right)$$Die Summe ersetzen wir mit der Induktionsvoraussetzung durch \(\frac{5^n-2^n}{3}\)$$\quad=3\left(2^n+5\cdot\frac{5^n-2^n}{3}\right)=3\cdot2^n+5\cdot(5^n-2^n)=\blue3\cdot2^n+5\cdot5^n\blue{-5}\cdot2^n$$$$\quad=5\cdot5^n+(\blue{3-5})\cdot2^n=5\cdot5^n\blue{-2}\cdot2^n=5^{n+1}-2^{n+1}\quad\checkmark$$