Monotonie, Intervall, Wachstumsverhalten

Question

Betrachten Sie die Funktion \( f: x \mapsto 2-|2(|x+1|-5)| \) mit \( D=[-7,5] \).
Bestimmen Sie das maximale Intervall \( I \) mit \( \frac{-1}{2} \in I \), sodass \( f \) auf \( I \) monoton ist. Entscheiden Sie, ob \( f \) auf \( I \) monoton wachsend oder monoton fallend ist. Achten Sie auch darauf, ob \( I \) offen oder abgeschlossen sein muss.

Ich bin hier auf I = [-1, 4] gekommen, aber das ist falsch. f ist monoton wachsend

Comments

Wie sieht deine Fallunterscheidung aus?

Answer 1

Das Intervall \([-1,4]\) ist korrekt. Die Funktion ist auf diesem abgeschlossenen Intervall streng monoton wachsend.

Das kannst du überprüfen, indem du feststellst:

\(f(-1)=-8 < 2=f(4)\)

Wie findet man schnell so ein Intervall?

Die Funktion ist stetig und stückweise linear (also aus Geradenstücken zusammengesetzt) und kann nur an den Stellen, wo die Beträge ihre Nullstellen haben, ihre Richtung ändern:

\(|x+1|=0 \Rightarrow x= -1\)

\(|2(|x+1|-5)|=0 \Rightarrow |x+1|=5 \Rightarrow x=-6,\: x=4\)

Damit ergib sich als Intervallkandidat \([-1,4]\). Dort muss der Graph ein Geradenstück sein. Da \(f(-6) = 2 > f(-1)\) ist die Funktion auf [-6,-1] fallend. Analog ist f(5)=0< 2=f(4). Also ist [-1,4] tatsächlich das gesuchte maximale Monotonieintervall.

Graph der Funktion

Comments

Ich glaube du hast Dich verrechnet. f(-1) müsste doch eigentlich 12 ergeben?

f(-1) = 2 - 2(|-1+1| -5)

= 2 - 2(|0| - 5)

= 2 - 2(-5)

= 2 + 10

= 12

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@mathpig
Du hast Betragstriche vergessen.

Und schau dir mal den von mir verlinkten Graphen an.

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Ach stimmt, da sind ja 2 Betragsstriche. Ja besten Dank ich habe es jetzt glaube ich verstanden.

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Du hast Betragstriche vergessen.

Oder in der Frage waren diese zu viel. Das würde zumindest erklären, warum das angegebene Intervall falsch ist.

Man sollte darauf acht geben, dass angegebene Terme korrekt sind.

Ansonsten würden für meine Definition der Monotonie die Grenzen -1 und 4 auch mit zum Intervall gehören. Aber aus abenteuerlichen Gründen habe ich auch schon gesehen, dass Extrempunkte nicht mit ins Intervall gezählt werden.

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Ach stimmt, da sind ja 2 Betragsstriche. Ja besten Dank ich habe es jetzt glaube ich verstanden.

Dann weißt du also, warum das Intervall I = [-1 ; 4] falsch ist? Oder wenn es richtig ist, warum es trotzdem als verkehrt angemerkt wird?

Natürlich kann eine Musterlösung verkehrt sein. Es hört sich aber eher an wie eine Aufgabe aus dem Generator, bei der eine eingegebene Lösung überprüft wird. Und bei solchen Aufgaben war es bisher selten, dass Lösungen richtig sind, obwohl das System anmerkt, dass sie falsch sind.

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Ich weiß jetzt ungefähr, wie ich an solche Aufgaben rangehen muss ja. Natürlich muss man diese Aufgaben jetzt selbstständig und öfter wiederholend rechnen, um es endgültig zu verstehen.

Was die Lernsoftware angeht, so hat diese hin und wieder mal richtige Lösungen als falsch angesehen, kommt aber nicht so häufig vor. Kann diesmal natürlich wieder der Fall sein