wie kann ich die Monotonie auf diesem Intervall zeigen?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie mit Mitteln Ihrer Wahl, dass die Funktion \( f:(0,1) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{50 x}-x^{3} \) (auf ihrem Definitionsbereich) streng monoton wachsend ist.

Problem/Ansatz:

wie kann ich die Monotonie auf diesem Intervall zeigen? Nehme mal an benötige die Ableitung, aber was dann?

Vielen Dank.

Answer 1

Bilde die Nullstellen der Ableitung und frage damit nach Extremstellen.

f(x) = √(50·x) - x^3

f'(x) = 50/(2·√(50·x)) - 3·x^2 = 50/(10·√(2·x)) - 3·x^2 = 5/(√(2·x)) - 3·x^2 = 0

5 = 3·x^2·√(2·x)

25 = 9·x^4·2·x

25/18 = x^5

x = (25/18)^(1/5) = 1.067907165

Im Intervall ]0; 1.0679] ist die Funktion streng monoton steigend. Und damit auch im Intervall ]0; 1]

Du solltest noch zeigen, dass es sich um einen Hochpunkt handelt. Wenn du allerdings siehst das lim (x → ∞) f(x) = - ∞ ist dann sollte das hinfällig sein.