Sei I ein Intervall und f : I → R eine differenzierbare Funktion. usw. Monotonie zeigen

Question

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sitze wieder mal am Schlauch, mit den Beweisen komme ich echt nicht zurecht.

Ich habe eine Aufgabe an der ich schon seit 2 Stunden sitze. Habe leider nur Ansatz machen können weiter komme ich leider nicht.

Aufgabe

Sei I ein Intervall und f : I → R eine differenzierbare Funktion. Sei Z :={x∈I|f′(x)=0}.
Zeigen Sie, dass f genau dann streng monoton wachsend ist, wenn f′ ≥ 0 gilt und Z kein Intervall positiver Länge enthält.

Ich habe die Hinrichtung leider nicht zeigen können. Wie kann ich die Hinrichtung am besten zeigen mit der Monotoniekriterium?

Comments

Sei Z :={x∈I|f′(x)=0}.

Ist aus dem Zusammenhang vermutlich lesbar. Die beiden | nebeneinander sind aber nicht schön.

Answer 1

Ich würde es indirekt versuchen:

Sei  f streng monoton wachsend und das hintere gilt nicht, dann wäre also entweder

f′ ≥ 0 falsch oder Z enthält. ein Intervall positiver Länge.

Wenn  f′ ≥ 0 falsch gibt es ein xo ∈ I mit f ' (xo) < 0 , also eine ganze Umgebung

von xo in der (f(x) - f(xo) ) / (x-xo) < 0 gilt, was der strengen Monotonie widerspricht.

Und wenn gilt : Z enthält. ein Intervall positiver Länge.

Dann gibt es zwei verschiedene Werte a,b   (oBdA a<b )  in diesem Intervall und für alle

x zwischen a und b gilt  f ' (x) = 0

Da aber   wegen der Monotonie f(b) > f(a) gilt, ist (f(b)-f(a) ) / (b-a) als Quotient

zweier positiver Zahlen positiv . Nach dem Mittelwertsatz gibt es aber ein

x zwischen a und b mit      (f(b)-f(a) ) / (b-a)   = f ' (x)

Die rechte Seite ist aber (s.o.) immer 0.  Widerspruch !