Beweis, dass dann auch die auf R+ erklärte Funktion f(x)/x monoton wachsend ist.

Question

Kann mir bitte jemand einen Tipp zu diesem Beweis geben?

Die Funktion f : R+ 0 → R sei differenzierbar mit f(0) = 0 und monoton wachsendem f'. Zeigen Sie, dass dann auch die auf R+ erklärte Funktion f(x)/x monoton wachsend ist.

Ich habe probiert zu zeigen, dass wenn die Ableitung monoton wachsend ist, dass automatisch auch gilt, dass die zweite Ableitung als f'' > 0 definiert ist. Somit ist bei der Bildung der Stammfunktion (durch die Hinzunahme einer Konstanten) die Funktion f positiv. Dies bedeutet ja dann auch gerade, dass f(x) >= x ist und somit die Funktion f(x)/x monoton wächst.

Ich glaube dass das total falsch und unsinnig ist..... . Ich komm nicht weiter :(.

Answer 1

Tipp: Es existiert ein \(c\in(0,x)\) mit \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^\prime(c)\). Zeige damit, dass \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\dfrac{f(x)}x>0\) gilt.

Comments

Danke, hab es gelöst bekommen :).