Aloha :)
$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac12x+x^2\sin\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]0 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$Die Differnzierbarkeit für \(x\ne0\) ist schnell gezeigt, denn wir können die Ableitung der Funktion bestimmen:$$f'(x)=\frac12+2x\sin\frac1x+x^2\cos\frac1x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=\frac12+2x\sin\frac1x-\cos\frac1x$$und diese Ableitung ist für alle \(x\ne0\) definiert.
Die Differenzierbarkeit an der Stelle \(x=0\) müssen wir genauer untersuchen. Dazu bilden wir Differenzenquotienten und prüfen, ob sein Grenzwert für \(x\to0\) existiert:$$f'(x)=\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac12x+x^2\sin\frac1x)-0}{x}=\lim\limits_{x\to0}\left(\frac12+x\sin\frac1x\right)\stackrel{(\ast)}{=}\frac12$$Die Konvergenz des Terms \((x\sin\frac1x)\) gegen Null sieht man so:$$\left|\sin\frac1x\right|\le1\implies|x|\cdot\left|\sin\frac1x\right|\le|x|\implies\left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\;\stackrel{(x\to0)}{\to}\;0$$
Die Funktion ist also für alle \(x\in\mathbb R\) differenzierbar und es gilt:$$f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac12+2x\sin\frac1x-\cos\frac1x &\text{für }x\ne0\\[1ex]\frac12 &\text{für }x=0\end{array}\right.$$
Wenn die Funtion in einer \(\varepsilon\)-Umgebung um \(0\) herum monoton wachsend wäre, müsste die Ableitung für alle \(x\in(-\varepsilon;\varepsilon)\) größer oder gleich Null sein. Wir wählen aus diesem Intervall$$x_0\coloneqq\frac{1}{2\pi\,n_0}\quad\text{mit}\quad n_0\coloneqq\left\lceil\frac{2\pi}{\varepsilon}\right\rceil$$und setzen den Wert in die Ableitung ein:$$f'(x_0)=\frac12+2\cdot\frac{1}{2\pi\,n_0}\cdot\sin(2\pi\,n_0)-\cos(2\pi\,n_0)=\frac12+0-1=-\frac12$$Daher wächst die Funktion in keiner \(\varepsilon\)-Umgebung von \(0\) monoton.
