rechtwinkliges Dreieck, Funktion, maximaler Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion
f (x) := −x² + x + 1.
Für x ∈ [0, \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) ] betrachten wir die rechtwinkligen Dreiecke ∆x mit den Eckpunkten
(0, 0), (x, 0), (x, f (x)). Begründen Sie, dass es ein x ∈ [0, \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \) ] geben muss, für das der Flächen-
inhalt von ∆x maximal wird und berechnen Sie diesen maximalen Flächeninhalt anschließend.

Problem/Ansatz:

In Vorbereitung auf die Klausur hätte ich gerne für folgende Aufgabe gelöst, um sie zu verstehen.

Answer 1

\(f (x) = −x^2 + x + 1\)

\(f (0) = 1\)

\(f ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ) = −(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2 + \frac{1+\sqrt{5}}{2} + 1=-(1+2*\sqrt{5}+5)*\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\sqrt{5}+1\)

\(f ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ) =-\frac{1}{4}-2*\frac{1}{4}\sqrt{5}-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}*\sqrt{5}+1\)

\(f ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ) =-\frac{1}{4}-\frac{5}{4}+\frac{1}{2}+1=0\)

Da der Graph von \(f(x)\)  nach unten geöffnet ist und bei \(f (0) = 1\) und bei \(f ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} ) \) den Wert 0 hat, muss ein maximaler Wert dazwischen liegen.

\(A= \frac{u}{2}*f(u) \) soll maximal werden.

\(f(u)= −u^2 + u + 1\)

...

Answer 2

A(x) = 0,5*x*f(x)  = 0,5x*(-x^2+x+1)=  -0,5x^3+0,5x^2+0,5x

A'(x) =0

-1,5x^2+x+0,5=0

x^2-2/3*x-1/3= 0

x= -1/3 v x= 1

A(1) = 0,5

Answer 3

Für x = \( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)   und für x=0 ist die

Fläche 0. Also gibt es dazwischen ein Max.

Die Fläche der Dreiecke wird bestimmt durch

A(x)= 0,5*x*f(x)= 0,5(−x³ + x² + x)

Also A ' (x)= 0,5(-3x² + 2x + 1). Das ist im Def.bereich  0 für x=1.

Und A ' ' (1) < 0 , also ist bei x=1 das Max.

max. Fläche ist A(1)=0,5