Zeigen Sie, dass 1≤ an < 2 für alle n ∈N gilt und dass (an)n∈N streng monoton wachsend ist

Question

Die unendlich iterierte Wurzel $$\sqrt { 1+\sqrt { 1+\sqrt { 1+\sqrt { 1+... }  }  }  }$$ wird definiert als Limes der wie folgt rekursiv definierten Folge a₁ :=1, a_n+1 :=√1+a_n (n ∈ℕ).


Zeigen Sie, dass 1≤ a_n < 2 für alle n ∈ℕ gilt und dass (a_n)_n∈ℕ streng monoton wachsend ist.

Berechnen Sie $$ \lim\limits_{n\to\infty} a n $$

Answer 1

Zeige a_n+1 - a_n > 0 per Induktion.

Für n = 1 ist a₂ - a₁ = √2 - 1 > 0 ✓

Wenn die Aussage für ein n > 0 gilt, dann:
a_n+2 - a_n+1 = √(1 + a_n+1) - a_n+1
> √(1 + a_n) - a_n+1
= a_n+1 - a_n+1 = 0 ✓

Answer 2

Setze die iterierte Wurzel gleich x und erhalte x=√(1+x) oder x²=1+x mit der größeren Lösung (√5+1)/2.

Comments

Damit zeigt man Monotonie?

Also, wenn a_n+1 > a_n, dann ist die Folge monoton wachsend.

Dann gilt:

a_n+1 > a_n

a_n+1 - a_n > 0

√(1+x) - x > 0
-x²+x+1 > 0

x_1/2=(1±√5)/2

Für alle x ∈ ℕ: x > (√5+1)/2 ist die Folge monoton wachsend. Ist das so richtig?

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Und $$\lim _{ n\to \infty  }{ a } _{ n+1 }=\sqrt { 1+{ a }_{ n } } =\infty$$