Untersuchen von Wachstumsverhalten

Question

ich habe die Funktion f(x)

f(x) = x^2 *e^x

Untersuchen Sie das Wachstumsverhalten der Funktion f(x). Ermitteln Sie dazu, wo die Funktion
monoton wächst, wo sie monoton fällt und insbesondere wo ihre relativen und absoluten Extrema
liegen.

Ich würde gerne die Monotonie "berechnen". Ich habe die erste Ableitung dazu gebildet.

Und erhalte folgende Werte: x₁ = 0 und x₂ = -2

Wie finde ich nun heraus, wo die Funktion monoton fallend und oder wachsend ist? Gibt es hierzu eine spezielle Formel?

Hätte ja 2 Intervalle die ich untersuchen müsste, (-∞,-2) ; (-2,0) (0,+∞)

:)

Answer 1

Hi,

soweit ist alles richtig.

Nun musst Du nur noch Punktproben machen. Das sind die "speziellen Formeln" die Du suchst^^.

f'(-1) = -1/e

Also negativ. Damit liegt fallende Monotonie vor. In den beiden anderen Intervallen muss dann je steigende Monotonie vorliegen.

Alles klar?

Grüße

Comments

Danke erstmal für die Antwort. Also ich nehme von jeden Intervall ein Punkt?

1. (-∞,-2) nehme dort -3

2. (-2,0)  nehme dort -1

3.  (0,+∞) nehme dort 1

Die Punkte setze ich ein und wenn ich als Ergebnis kleiner als 0 erhalte dann ist es monoton fallen und falls ich größer als 0 ist es monoton steigend.

Ist meine Annahme richtig oder liege ich komplett falsch?

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Das ist richtig. Ist aber unnötig. Es reicht hier aus, nur ein Intervall zu untersuchen und alle anderen Intervalle ergeben sich (zumindest, wenn man weiß, dass man keine mehrfache Nullstelle bei der 1. Ableitung vorliegen hatte, bzw. die gefundenen Ableitungsnullstellen auf Maxima/Minima zurückführen).

Aber drei Punkte zu nehmen...da gehste auf Nummer sicher! :)

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Danke. Eine letzte Frage: Die Werte in die Erste Ableitung einsetzen oder?

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Genau :)      .

Answer 2

Bilde die erste und zweite Ableitung der Funktion:$$f'(x)=x\left(x+2\right)\mathrm{e}^x$$$$f''(x)=\left(x^2+4x+2\right)\mathrm{e}^x$$ Die Nullstellen der ersten Ableitung liegen bei: \(N_1=-2\) und \(N_2(0)\). Setze diese nun in die zweite Ableitung ein:$$f''(-2)=\left((-2)^2+4\cdot (-2)+2\right)\mathrm{e}^{-2}\approx -0.27<0$$$$f''(0)=\left(0^2+4\cdot 0+2\right)\mathrm{e}^0=2>0$$ Nun setzen wir die Nullstellen in die Ausgangsfunktion ein:$$f(-2)=(-2)^2\cdot e^{-2}=0.5413411$$$$f(-2)=(-2)^2\cdot e^{-2}=0.5413411$$ Wir haben also einen Hochpunkt bei \((-2|0.541)\) und einen Tiefpunkt bei \((0|0)\).

Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend
Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon falle

Wir haben also folgendes Monotonieverhalten:

Streng monoton steigend:$$]-\infty;-2]$$Streng monoton fallend$$[-2;0]$$ Streng monoton steigend:$$[0;\infty[$$

Comments

Danke, für die ausführliche Antwort. Wie bestimmte ich Monotonieverhalten?

Das verstehe ich immer noch nicht ganz.

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Wenn man weiß, ob ein Hoch-, Tief- oder Terrassenpunkt vorliegt, kennt man auch die Monotonie des Graphen vor bzw. nach diesen Stellen:

Tiefpunkt: links davon fallend, rechts davon steigend

Hochpunkt: links davon steigend, rechts davon falle

Terrassenpunkt: links und rechts davon gleiche Monotonie