Exponentialfunktion Wachstumsverhalten von phototropen Bakterien in einem Eimer.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei Aufgabe b, c und bei Aufgabe f den Sachkontext.

Nach meiner Information: Fototrophe Bakterien sind Organismen, die Licht als Energiequelle und für ihren Stoffwechsel nutzen.

Aufgabe b,c und f fehlen mir nun, bei Aufgabe f vor allem der Sachkontext. Verstehe den Verlauf der Wachstumsrate im Kontext nicht wirklich..

Answer 1

Was war Aufgabenteil a) ? Zufällig eine Kurvendiskussion ?

Zumindest ist es günstig mal die Extrempunkte zu untersuchen

Extrempunkte f'(t) = 0

e^{- k·t}·(1 - k·t) = 0

1 - k·t = 0 --> t = 1/k

f(1/k) = 1/k·exp(- k·1/k) = 1/(k·e) --> HP bei (1/k | 1/(k·e))

Bei b) gehe auf 3 Dinge ein. Auf die Nullstelle von f(t), auf den Hochpunkt von f(t) und das Verhalten für t im Unendlichen. Du kannst auch noch Wendepunkte mit berücksichtigen.

c) Der Parameter k beeinflusst die Lage des Hochpunktes und damit eigentlich wie Lange das Wachstum anhält, bevor eine Abnahme eintritt. So könnte einer Vermehrung von Bakterien durch Verringerung des Lichtes schneller gestoppt werden.

Comments

Aufgabe a war nur dass ich mich über phototrophe Bakterien informieren soll. Die Extremstelle habe ich bei Aufgabe d untersucht, nur weiß ich nicht genau, wie die Funktion aussieht. .

Vielen dank. Hab die Aufgabe c auf jeden Fall jetzt gut verstanden.

Wie sieht das Verhalten im Unendlichen aus? Wie berechne ich das?

Und vielleicht noch: Was sagt die Stammfunktion im Kontext aus?

Ich habe sie berechnet: (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c

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Die Stammfunktion könnte die Anzahl der Bakterien zu einem Bestimmten Zeitpunkt beschreiben. Wenn z.B. F(0) = 0 ist gibt die Stammfunktion die Anzahl der Bakterien an, die ab dem Zeitpunkt 0 dazu gekommen sind.

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@mathecoach
Mir kommen sowohl bei meiner als auch bei deiner Antwort Zweifel
ob " ... Stammfunktion die Anzahl der Bakterien ist, die ab dem Zeitpunkt
0 dazu gekommen sind."

Analogie zur Zinsrechnung

K ( t ) = K0 * 1.04^t

Als f ( t ) haben wir nur 1.04^t
Bei der Integration zu F ( t ) berechnen wir nur die Verfielfachungsfaktor 
des Wachstums ohne den Startwert zu kennen.

Konkretes Beispiel
k = 2
t von 0 bis 10 min
Ergebnis für F : 0.25

Anfangswert
10000 Bakterien
Gewachsen um 2500 Bakterien ?

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Meine Bedingung war F(0) = 0

Answer 2

Hier einmal 2 Graphen für k = 1 und k = 2

~plot~ x * e^{-1*x} ; x * e^{-2*x} ; [[ 0 | 4 | 0 | 0.5 ]] ~plot~

Comments

Ort stärksten Wachstums : Hochpunkt
und davon die " Ortskurve " bestimmen.

Kennst du die " partielle Integration " ?
Ansonsten sind e.) und f.) nicht zu lösen.

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Vielen dank für den Graphen.. jetzt kann ich mir immerhin die Funktion vorstellen.

Ich habe Aufgabe e und f gelöst und komme bei Aufgabe f auf:

F_k=(-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c

Nur verstehe ich das im Kontext nicht..

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Die Stammfunktion zwischen Integrationsgrenzen entspricht
der Fläche unterhalb der Kurve.

Analogie zu Weg, Zeit , Geschwindigkeit

Geschwindigkeit ist die 1.Ableitung des Weges nach der Zeit
Umgekehrt ist
s ( t ) = ∫ v ( t ) dt
und ergibt wieder die gefahrene Strecke

Dargestellt ist die Wachstumsrate ( Geschwindigkeit ) pro Liter pro Minute.
Die Gesamtanzahl aller Bakterien ist
F ( t ) = ∫ f ( t ) dt
Natürlich müssen noch die Integrationsgrenzen angegeben werden

Beispiel
Bei
[ (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c ]₀⁴
wäre dies die Menge der vorhandenen Bakterien zwischen 0 und 4 min,
also nach 4 min ab Anfang pro Liter.

Integratiosngrenzen 2 bis 3 :
Menge der hinzugekommen Bakterien zwischen der 2. und 3.Minute pro Liter.

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Ok, dankeschön. Das heißt, das Ergebnis von [ (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c ]₀⁴  wäre also sozusagen der Bestand bzw. Wie viele Bakterien vorhanden sind?

Eine Frage noch zur Beschriftung der Achsen .. Was gibt die x Achse an und was gibt die y Achse an?

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Die ganze Aufgabenstelung kommt mir reichlich mißlungen vor.

b.) geht noch.
Die Wachstumsrate steigt auf einen Höchstwert an und wird dann
wieder flacher.

c.) Sind wir Bakteriologen ?
Wodurch könnte die Konstante k beeinflußbar sein :
Lichtintensität, Nahrungsangebot ( irgendwodurch müssen sich neu
hinzkommende Bakterien ja aufbauen ), Wassertemperatur ?

e.)
Informiere dich über partielle Information und erkläre sie an
verschiedenen Beispielen.
Sich autodidaktisch selbst über part.Int. zu informieren, diese zu
begreifen, ruck-zuck anzuwenden und sogar geeignete Beispiele
anzuführen halte ich für nicht möglich.

Ok, dankeschön. Das heißt, das Ergebnis von 
[ (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c ]₀⁴  wäre also sozusagen der
Bestand bzw. Wie viele Bakterien vorhanden sind?

Nein. Ich bin jetzt anderer Ansicht.

Für die Bakterien gilt
Wachstumsrate
f ( t ) = t * e^{-k*t}
Dies ist praktisch die Geschwindigkeit mit der sich die
Bakterien vermehren.

Die Aufsummierung der Wachstumsrate ergibt das insgesamte
Wachstum als Faktor

Stammfunktion
F ( t ) = ∫ f ( t ) dt
F ( t ) = (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c
Ein bestimmtes Integral. Konkretes Beispiel
k = 2
t von 0 bis 10 min
[ (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c ]₀¹⁰
Ergebnis : 0.25

Das heißt nicht das 0.25 Bakterien hinzugekommen sind sondern :
Anfangswert der Bakterien * 0.25 = Zuwachs

Anfangswert
10000 Bakterien
Gewachsen bei k = 2 und t von 0 bis 10 um 2500 Bakterien.

Eine Frage noch zur Beschriftung der Achsen .. Was gibt die
x Achse an und was gibt die y Achse an?

x-Achse : Zeit
y-Achse : dimensionslos

Soweit meine Einschätzung.

mfg Georg

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Ich finde die Aufgabe auch ziemlich ungünstig gestellt.. Aber trotzdem vielen Dank für die Mühe!

Hat mir sehr geholfen und mir ist einiges verständlicher. Mit Aufgabe f setze ich mich jetzt noch weiter auseinander, weil ich das immer noch nicht so gut verstehe

Liebe Grüße

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Bin gern weiter behilflich.
Schaue jetzt aber fernsehen.

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Hier die beiden Skizzen als Beispiel
k = 2  
t = 0 bis 10

Die Wachstumsrate ( blau, vergleichbar mit der Geschwindigkeit ) erhöht sich zunächst
bis zum Hochpunkt und fällt dann bis fast auf 0 ab.

Die Integralfunktion ( rot, vergleichbar mit dem Weg ) erhöht sich zunächst stark und
geht dann auf den Grenzwert 0.25 zu.

Zuwachs = Anfangswert der Bakterien * Funktionswert der rote Kurve
Endzuwachs = Anfangswert der Bakterien * 0.25

Gesamtanzahl der Bakterien = Anfangswert + Zuwachs

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Oh, vielen lieben Dank! Das verdeutlicht den Unterschied ganz gut. Nur.. Muss die Integralfunktion nicht auch sinken? Die Bakterien sterben ja dann nach dem Hochpunkt ab, oder?

Und noch eine Frage, und zwar weiß ich nicht genau, wie man auf die 0.25 kommt ..

Vielen Dank schonmal

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und zwar weiß ich nicht genau, wie man auf die 0.25 kommt .

0,25 (genauer : 0,25 min²) ist das Quadrat derjenigen Zeit, zu der die Funktion f ihr Maximum hat.

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Du hast die Stammfunktion doch schon selbst aufgestellt

 (-1/k •t - 1/k²) • e^-kt +c

k = 2
t von 0 bis 10

[ (-1/2 • t - 1/2²) • e^-2t +c ] ₀¹⁰
(-1/2 * 10 - 1/2^2 ) * e^{-2*10} + c - ( (-1/2 * 0 - 1/2^2 ) * e^{2*0} + c )
( -5 - 0.25 ) * 0 + c - ( -1/4 * 1 + c )
0 + c + 1/4  - c
1 / 4
0.25

Die Bakterien sterben ja dann nach dem Hochpunkt ab, oder? 

Leider hast du die blaue Kurve der Wachstumsrate im Sachzusammenhang
noch nicht verstanden.

Vergleich mit der Geschwindigkeitskurve eines Autos :

Im Ursprung ist die Geschwindigkeit 0
Dann steigert sich die Geschwindigkeit bis zum Hochpunkt.
Dann fällt die Geschwindigkeit wieder ab, ist aber immer noch
positiv.
Und bleibt auch positiv geht aber gegen 0.

Jetzt ersetze einmal Geschwindigkeit durch Wachstumsrate.

mfg Georg