Zufallsexperiment Abhängigkeit bestimmen

Question

Aufgabe:

Betrachtet wird das Zufallsexperiment zweimaliger Wurfelwurf mit einem fairen Würfel. Sei X die
Zufallsvariable, welche die Summe der beiden Wurfe berechnet und Y die Zufallsvariable, welche die
Differenz des zweiten vom ersten Wurf berechnet. Weise nach, dass die Ereignisse Y = 0 und X = 12
stochastisch abhängig sind.

Problem/Ansatz: (stimmen meine Schlussfolgerungen?)

Bin mir besonders unsicher bei Y wie man das genau darstellen soll um die Abhängigkeit darzustellen

Die Ereignisse Y = 0 und X = 12 sind stochastisch abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 12 unter der Bedingung, dass Y = 0 stattfindet, nicht
gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 12 ist.

X -> 1/6*1/6=1/36
Y -> 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1

Daher unabhängig, weil es nicht gleiche Wahrscheinlichkeit

Answer 1

Die Ereignisse Y = 0 und X = 12 sind stochastisch abhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 12 unter der Bedingung, dass Y = 0 stattfindet, nicht
gleich der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis X = 12 ist.

Das ist richtig. Etwas knapper formuliert:

        \(\begin{aligned}&P(X=12 | Y=0)\neq P(X=12)\\\implies& Y=0\text{ und } X=12\text{ sind stochastisch abhängig}\end{aligned}\)

Laut Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten ist

      \(P(X=12\ |\ Y=0) = \frac{P(X=12\wedge Y=0)}{P(Y=0)}\).

Berechne also \(P(X=12\wedge Y=0)\), \(P(Y=0)\) und \(P(X=12)\).