Berechne den Oberflächeninhalt eines Kegels aus Mantellinie und Mantelfläche

Question

Aufgabe:

Von einem Kegel sind die Länge der Mantellinie 18 cm und die Größe der Mantelfläche 345 Quadratzentimeter bekannt. Berechne den Oberflächeninhalt.

Problem/Ansatz:

Wie soll man den Oberflächeninhalt aus der Mantelfläche und der Mantellinie eines Kegels berechnen?

Answer 1

Geg.:

Mantellinie: \(s= 18 cm\)

Mantelfläche: \(M = 345 cm^2\)

Wenn \(r\) den Radius der Grundfläche des Kegels bezeichnet, dann gelten die Formeln:

Mantelfläche: \(M = \pi r s\)

Grundfläche: \( G = \pi r^2\)

Ges.:

Gesamtoberfläche des Kegels: \(O = M + G\)

\(r\) kann aus den gegebenen Daten berechnet werden:

\(r = \frac{M}{\pi s} \Rightarrow G = \pi \frac{M^2}{\pi^2 s^2} = \frac{M^2}{\pi s^2}\)

Alles einsetzen ergibt

\(O = \left(345 + \frac{345^2}{\pi 18^2}\right) cm^2 \approx 461.9 cm^2\)

Answer 2

Man addiert noch den Inhalt der Grundfläche. Dazu braucht man deren Radius.

Der Inhalt der Mantelfläche beträgt pi mal Radius mal Mantellinie. Der Inhalt der Grundfläche beträgt pi mal Radius im Quadrat.