Variablenbestimmung für Ebenen, die sich schneiden oder identisch sind

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Werte für k, m und n so, dass die Ebenen

E1: x = \( \begin{pmatrix} 0\\k\\1 \end{pmatrix} \) + t \( \begin{pmatrix} 1\\m\\2 \end{pmatrix} \)  + s \( \begin{pmatrix} n\\1\\3 \end{pmatrix} \)

und

E2: x = \( \begin{pmatrix} -3\\-3\\0 \end{pmatrix} \)  + r \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \)   + v \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \)

gilt:

a) E1 und E2 schneiden sich

b) E1 ist identisch mit E2
Problem/Ansatz:

für a) würde es doch genügen, dass die Spannvektoren nicht linear abhängig sind oder? und für b) müssten die Spannvektoren jeweils linear abhängig sein, und der Punkt von E1 müsste in E2 liegen (bzw andersrum)?

Answer 1

dass die Spannvektoren nicht linear abhängig sind

Genauer gesagt,

• die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\m\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \) sind linear unabhängig oder
• die Vektoren \( \begin{pmatrix} n\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \) sind linear unabhängig.

Die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\m\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} n\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \) sind immer linear abhängig.

für b) müssten die Spannvektoren jeweils linear abhängig sein, und der Punkt von E1 müsste in E2 liegen (bzw andersrum)?

Genauer gesagt,

• die Vektoren \( \begin{pmatrix} 1\\m\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \) müssen linear abhängig sein und
  
• die Vektoren \( \begin{pmatrix} n\\1\\3 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\-2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 6\\7\\1 \end{pmatrix} \) müssen linear abhängig sein.