Schneiden sich die Ebenen

Question

Aufgabe:

Die Ebene E1 sei durch die drei Punkte

A(0, 3, 3), B(1, 5, 4), C(1, 1, 4)

bestimmt. Die Ebene E₂ enthalte den Punkt P(−1, −2, 1) und habe den Normalvektor

$$ \vec{v}=\left(\begin{array}{c}{-5} \\ {-1} \\ {3}\end{array}\right) $$

Schneiden sich diese Ebenen? Wenn ja, bestimmen Sie eine Parameterdarstellung der
Schnittmenge. Wie lautet die parameterfreie Darstellung?

Problem/Ansatz:

Weiss nicht wie vorgehen bzw. wie ich die Parameterform aufstellen soll.

Answer 1

A(0, 3, 3), B(1, 5, 4), C(1, 1, 4)

AB = [1, 2, 1]

AC = [1, -2, 1]

k·N = [1, 2, 1] x [1, -2, 1] = [4, 0, -4] = 4·[1, 0, -1]

E1: [x, y, z]·[1, 0, -1] = [0, 3, 3]·[1, 0, -1]

E1: x - z = -3

E2: [x, y, z]·[5, 1, -3] = [-1, -2, 1]·[5, 1, -3]

E2: 5·x + y - 3·z = -10

Da die normalenvektoren linear unabhängig sind schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.

x - z = -3 --> x = z - 3

in II einsetzen

5·(z - 3) + y - 3·z = -10 --> y = 5 - 2·z

[z - 3, 5 - 2·z, z] = [-3, 5, 0] + z·[1, -2, 1]

Answer 2

Wie lautet die parameterfreie Darstellung wovon denn?

Das geht wohl nur bei Ebenengleichungen. Eine allfällige Schnittmenge wäre dann eine Ebene (?). D.h. E1 = E2.

Der_Mathecoach hat schon gezeigt, dass sich die beiden Ebenen in einer Geraden schneiden. Darum ist die letzte Frage noch klärungsbedürftig.