Aloha :)
Die Gerade \(g\) geht durch \(P(0|0|3)\) und \(Q(-5|3|3)\). Ihre Parameterform ist daher:$$g\colon\;\vec x=\left(\begin{array}{r}0\\0\\3\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r}-5-0\\3-0\\3-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\0\\3\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)$$
Die Gerade \(h\) geht durch \(R(0|-1,5|4,5)\) und \(Q(-5|4,5|1,5)\). Ihre Parameterform ist:$$h\colon\;\vec x=\left(\begin{array}{r}0\\-1,5\\4,5\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}-5-0\\4,5-(-1,5)\\1,5-4,5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1,5\\4,5\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{r}-5\\6\\-3\end{array}\right)$$
zu a) Die beiden Richtungsvektoren der Geraden sind nicht kollinear. Wenn wir also zeigen können, dass sich die Geraden in einem Punkt schneiden, spannen sie eine Ebene \(E\) auf. Wir prüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt:
$$\left(\begin{array}{r}0\\0\\3\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1,5\\4,5\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{r}-5\\6\\-3\end{array}\right)\Longleftrightarrow$$$$\lambda\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)-\mu\left(\begin{array}{r}-5\\6\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1,5\\4,5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{r}0\\0\\3\end{array}\right)\Longleftrightarrow$$$$\lambda\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{r}5\\-6\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}0\\-1,5\\1,5\end{array}\right)$$Aus der ersten Koordinatengleichung folgt \(\lambda=\mu\). Aus der dritten Koordinatengleichung folgt \(\mu=\frac12\). Tatsächlich erfüllen \(\lambda=\mu=\frac12\) auch noch die zweite Koordinatengleichung. Damit haben beide Geraden einen gemeinsamen Schnittpunkt:$$S\left(-\frac52\,\bigg|\frac32\bigg|3\,\right)$$
zu b) Wir wählen den soeben berechneten Schnittpunkt \(S\) als Ankerpunkt und die beiden Richtungsvektoren der Graden als Richtungsvektoren der Ebene:$$E\colon\;\vec x=\begin{pmatrix}-5/2\\3/2\\3\end{pmatrix}+\lambda\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{r}-5\\6\\-3\end{array}\right)$$
Zur Angabe einer Koordinatengleichung für die Ebene brauchen wir einen Normalenvektor:$$\vec n=\left(\begin{array}{r}-5\\3\\0\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{r}-5\\6\\-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-9-0\\0-15\\-30+15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}-9\\-15\\-15\end{array}\right)=-3\left(\begin{array}{r}3\\5\\5\end{array}\right)$$Damit können wir eine Koordinatengleichung formulieren:$$E\colon\;\left(\begin{array}{r}3\\5\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}3\\5\\5\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}-5/2\\3/2\\3\end{array}\right)$$$$E\colon\;3x+5y+5z=15$$
zu c) Die Spurpunkte der Ebene finden wir, indem wir in der Koordinatengleichung jeweils zwei Koordinaten auf Null setzen:$$P_1(5|0|0)\quad;\quad P_2(0|3|0)\quad;\quad P_3(0|0|3)$$
