Zeigen Sie, dass B:=A(A^{\top} A)^{-1} A^{\top} ∈ ℝ^{M \times M} eine Projektionsmatrix ist, für die Bild B= Bild A …

Question

Aufgabe:

Sei \( A \in \mathbb{R}^{M \times N} \) mit \( M \geq N \)

Wir gehen nun davon aus, dass der Rang von \( A \) maximal ist. Zeigen Sie, dass \( B:=A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} \in \mathbb{R}^{M \times M} \) eine Projektionsmatrix ist, für die Bild \( B= \) Bild \( A \) gilt.

Habe ziemlich grose Schwierigkeiten bei der Aufgabe, danke voraus für jede Hilfe.

Answer 1

\(B\) ist Projektionsmatrix per Definition, wenn

\(B^2 = B \) und \(B^{T} = B\)

\(B^2 =  A\left(A^{\top} A\right)^{-1} \underbrace{A^{\top} A\left(A^{\top} A\right)^{-1}}_{= I} A^{\top}\)

\(= A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}  = B\)

\(B^{\top} = \left(A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}\right)^{\top}\)

\( = A^{\top\top} \left(A^{\top} A\right)^{-T}A^{\top}\)

\(= A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} = B\)

Noch zu zeigen: Bild B = Bild A

Offebar per Definition von B gilt

\(Bild B \subseteq Bild A\)

Sei nun \(y=Ax \in Bild A\). Zu zeigen ist, dass \(y\in Bild B\):

Es gilt

\(BAx = A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}Ax = Ax = y\).

Fertig.