\(B\) ist Projektionsmatrix per Definition, wenn
\(B^2 = B \) und \(B^{T} = B\)
\(B^2 = A\left(A^{\top} A\right)^{-1} \underbrace{A^{\top} A\left(A^{\top} A\right)^{-1}}_{= I} A^{\top}\)
\(= A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} = B\)
\(B^{\top} = \left(A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}\right)^{\top}\)
\( = A^{\top\top} \left(A^{\top} A\right)^{-T}A^{\top}\)
\(= A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top} = B\)
Noch zu zeigen: Bild B = Bild A
Offebar per Definition von B gilt
\(Bild B \subseteq Bild A\)
Sei nun \(y=Ax \in Bild A\). Zu zeigen ist, dass \(y\in Bild B\):
Es gilt
\(BAx = A\left(A^{\top} A\right)^{-1} A^{\top}Ax = Ax = y\).
Fertig.
