Zeigen sie induktiv, dass für m ∈ {k+1,...,M} gilt

Question

Aufgabe:

Sei

L_j,k = E_M + l_j,k e^j (e^k)^T       l_j,k ∈ K für 1 ≤ k < j ≤ M

die Matrix, die von links an A ∈ K^MxN multipliziert, das l_jk - fache der k-ten Zeil von A auf die j-te addiert, also

         1

L_j,k =         l_jk  1

                            1

Zu dieser Darstellung: Alle nicht spezifizierten Einträge sind 0, der Eintrag l_jk steht in der j-ten Zeile und k-ten Spalte. Die Darstellung dient zum besseren Verständnis, soll aber nicht verwendet werden.

Zeigen sie induktiv, dass für m ∈ {k+1,...,M} gilt

_{Lm, k *} L_k+1,k = E_m l^m,k (e^k)^T

_l^{m,k = \( \begin{0}_k^{} {l}_k+1,k^{}... {l}_m,k^} \end{0_M-m^{} \)}

Problem/Ansatz:

1. Was versteht man unter diesem Ausdruck den man induktiv beweisen soll?

2. Beim Induktionsanfang würde ich für m = k+1 einsetzen, aber wie funktioniert dann der Beweis?

Vielen Dank im Voraus!