Rekursive Ungleichung induktiv beweisen

Question

Hallöchen,

habe folgende rekursive Folge/ Ungleichung:

Diese soll ich per Induktion beweisen. Ich weiß, dass ich für das einsetzen für n → n+1 die Induktionsvoraussetzung benutzen kann, aber weiß gar nicht was es mir bringt. Ich komme auf keine klare Umformung die mir weiterhilft. Freue mich über jegliche Anregungen :)

PS: Ich glaube der generelle Umgang mit rekursiven Folgen scheint mir nicht ganz Geheuer. Gibt es Kniffe die ich vielleicht generell anwenden kann um an mein Ziel zu kommen?

Answer 1

Du möchtest wissen, ob folgendes gilt:

$$a_{n+1} ≥ a_n \newline 1 - \frac{1}{2 + a_n} ≥ a_n$$

Du kannst die Gleichung nach an auflösen. Als Nächstes müsstest du dann nur noch zeigen, dass an nur Werte aus dem genannten Bereich annehmen kann und keinen außerhalb dieses Bereiches. Willst du das mal probieren? Also zunächst obige Gleichung nach an auflösen.

Answer 2

Es gibt da verschiedene Wege. Ein Standardweg ist der Folgende:

IA: \(a_2 \geq a_1\geq 0\) ist offensichtlich wahr.

IV: \(0\leq a_{n-1}\leq a_n\) sei schon bewiesen.

IS: Es genügt nun zu zeigen, dass aus IV folgt

\(a_{n+1}\geq a_n \quad (\star)\)

Da du die IV benutzen möchtest, macht es Sinn, die Ungleichung \((\star)\) auf die IV zurückzuführen. Dazu benutzt du die Rekursionsvorschrift:

Zu zeigen ist also:

\(1-\frac 1{2+a_n} \geq 1-\frac 1{2+a_{n-1}}\quad (\star\star)\)

Nun versuchst du, diese Ungleichung so äquivalent umzuformen, dass du bei der IV ankommst:

\( (\star\star) \)

\(\Leftrightarrow -\frac 1{2+a_n} \geq -\frac 1{2+a_{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac 1{2+a_n} \leq \frac 1{2+a_{n-1}}\)

\(\Leftrightarrow 2+a_n \geq 2+a_{n-1}\)

\(\Leftrightarrow a_n \geq a_{n-1}\) Wahr laut IV!