f ist eine lineare Abbildung mit f: U > U, wobei U ein Vektorraum über einem Körper ist. Es gilt noch, das die Komposition von f mit sich selbst wieder f ist, also f • f = f (• steht für Komposition).
Ich sollte zeigen:
a) f(x) = x für alle x aus im(f) (Bildmenge)
b) U = Ker(f) + im(f)
Mein Beweis:
a) Da f • f = f gilt, gilt mit Äquivalenzumformumg f = id. Somit gilt die Auusage a) nach Definition
b) Da a) nun gilt und auch die Sachen aus der Aufgabenstellung, gilt f = id.
Nun ist f = id bijektiv, woraus im(f) = U und Ker(f) = {0} ist, also folgt damit auch die Aussage von b).
Ist der Ansatz so korrekt?