Lineare Abbildungen & Fortsetzung

Question

Sei\[\begin{aligned}f\left(\vec{e}_{1}\right) &=\left(\begin{array}{c}{1} \\{2} \\{3}\end{array}\right), & f\left(\vec{e}_{2}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{-1}\end{array}\right), \quad f\left(\vec{e}_{3}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{1}\end{array}\right) \\g\left(\begin{array}{l}{1} \\{1} \\{0}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{2} \\{2} \\{2}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{2} \\{1} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{0} \\{0}\end{array}\right), \quad g\left(\begin{array}{c}{1} \\{3} \\{1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\{1} \\{2}\end{array}\right) \\h\left(\begin{array}{c}{1} \\{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{9} \\{9}\end{array}\right), \quad h\left(\begin{array}{c}{-1} \\{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{11} \\{1}\end{array}\right)\end{aligned}\]Per Linearer Fortsetzung sind damit die linearen Abbildungen \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) \( h: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) definiert.

a) Geben Sie \( 2 f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right) \) sowie \( f(2,1,-1) \) an.

b) Geben Sie \( g(-1,0,-1) \) an. Vorschlag: Den Vektor \( \vec{x}=(-1,0,-1)^{T} \) zunächst beziiglich der gleichen Basis, beziüglich derer \( g \) gegeben ist, darstellen.

c) Geben Sie \( h\left(\vec{e}_{1}\right), h\left(\vec{e}_{2}\right) \) an. Hinweis: Stellen Sie Gleichungen auf, die \( h\left(\vec{e}_{1}\right) \) und \( h\left(\vec{e}_{2}\right) \) erfüllen sollen. Führen Sie dann skalare Variable ein: \( h\left(\vec{e}_{1}\right)=:(a, b)^{T}, h\left(\vec{e}_{2}\right)=:(c, d)^{T} \) und lösen Sie das entstehende LGS.

Answer 1

a) \(2\cdot f\left(\vec{e}_{1}\right)+f\left(\vec{e}_{2}\right)-f\left(\vec{e}_{3}\right) = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \).

\( \begin{aligned} f \left( \begin{pmatrix} 2\\1\\-1 \end{pmatrix} \right) &= f\left(2\cdot\vec{e_1}+1\cdot\vec{e_2}+(-1)\cdot\vec{e_3}\right)\\& = 2\cdot f\left(\vec{e_1}\right)+1\cdot f\left(\vec{e_2}\right)+(-1)\cdot f\left(\vec{e_3}\right)\end{aligned} \)

b) Laut Vorschlag sollst du die Gleichung

\(a\cdot \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} + c\cdot \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1\\0\\-1 \end{pmatrix} \)

lösen. Setze die Lösung dann in

\( a\cdot g\left(\begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \right) + b\cdot g\left( \begin{pmatrix} 2\\1\\1 \end{pmatrix} \right) + c\cdot g\left( \begin{pmatrix} 1\\3\\1 \end{pmatrix} \right) \)

ein.

c) Geht genau so wie b).