Beweis Lineare Abbildungen

Question

f ist eine lineare Abbildung mit f: U > U, wobei U ein Vektorraum über einem Körper ist. Es gilt noch, das die Komposition von f mit sich selbst wieder f ist, also f • f = f (• steht für Komposition).

Ich sollte zeigen:

a) f(x) = x für alle x aus im(f) (Bildmenge)

b) U = Ker(f) + im(f)

Mein Beweis:

a) Da f • f = f  gilt, gilt mit Äquivalenzumformumg f = id. Somit gilt die Auusage a) nach Definition

b) Da a) nun gilt und auch die Sachen aus der Aufgabenstellung, gilt f = id.

Nun ist f = id bijektiv, woraus im(f) = U und Ker(f) = {0} ist, also folgt damit auch die Aussage von b).

Ist der Ansatz so korrekt?

Comments

Die Äquivalenzumformung, von der du sprichst, existiert nicht.

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Kann man denn aber für den Beweis bei b) dann davon ausgehen, das f = id ist, wenn man dann die Aussage von a) als wahr annimt?

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Nein, die Null-Abbildung ist ein Gegenbeispiel.

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Stimmt.

Danke

Answer 1

Zu deinem Beweis: Nein, \(f\) muss nicht die Identität sein, und es ist auch unklar, wie du dort angelangt bist.

Zu a): Ist \(x\in\mathrm{im}(f)\), dann gibt es ein \(b\in U\) mit \(x=f(b)\). Dann ist \(f(x)=f^2(b)=f(b)=x\).

Zu b): Jedes \(x\in U\) lässt sich schreiben als: \(x=f(x)+(x-f(x))\).

Comments

Danke sehr! :)