Rekursive Folge Vollständige Induktion

Question

Aufgabe

A5) (rekursiv definierte Folge, Vollständige Induktion)
Es seien \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) fest vorgegeben mit \( \alpha^{2}+4 \beta>0 \). Mit diesen Parametern definieren wir rekursiv die Folge
\( a_{0}=0, \quad a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\alpha a_{n}+\beta a_{n-1} \quad \forall n \in \mathbb{N} . \)
2
a) Es seien \( x_{1}, x_{2} \) die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung
\( x^{2}=\alpha x+\beta . \quad \)
Zeigen Sie per Vollständiger Induktion, dass dann die Formel
\( a_{n}=\frac{x_{1}^{n}-x_{2}^{n}}{x_{1}-x_{2}} \quad \forall n \in \mathbb{N}_{0} \)
gilt.

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht genau wie ich hier vorgehen soll

Answer 1

Dedr Induktionsanfang ist leicht. Es gilt ja \( a_0 = \frac{ x_1^0 -x_2^0}{x_1 -x_2} = 0 \) weil ja wegen \( \alpha^2 +4 \beta> 0 \) auch \( x_1 \ne x_2 \) gilt.

Somit ist zu beweisen, dass gilt

$$ \frac{ x_1^{n+1} -x_2^{n+1}}{x_1 -x_2} = \alpha \frac{ x_1^{n} -x_2^{n}}{x_1 -x_2} + \beta \frac{ x_1^{n-1} -x_2^{n-1}}{x_1 -x_2} $$ Wegen \( x_1 \ne x_2 \) gilt auch

$$  x_1^{n+1}-x_2^{n+1} = \alpha ( x_1^n -x_2^n) +\beta(x _1^{n-1} - x_2^{n-1}) $$ Umsortieren ergibt

$$ x_1^{n-1} (x_1^2 -\alpha x_1- \beta) = x_2^{n-1} (x_2^2 -\alpha x_2- \beta) $$

Weil \( x_{1,2} \) aber Lösung der Gleicheung \( x^2 - \alpha x -\beta = 0 \) sind, ist alles gezeigt.