$$ f(x)=\dfrac{3}{64} \cdot x^4 - \dfrac{9}{8}\cdot x^2 +3\cdot x $$ Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion \( f' \) .
c) Geben Sie eine Nullstelle der Funktion \(f\) an. Begründen Sie unter Verwendung der Abbildung, dass die Funktion \(f\) genau eine weitere Nullstelle besitzt.
Offenbar ist \(x=0\) eine Nullstelle von \(f\).
Da der Graph von \(f'\) links von \(x=0\) eine Nullstelle mit \((-/+)\)-Vorzeichenwechsel aufweist, muss der Graph von \(f\) dort einen Tiefpunkt besitzen. Da die Abbildung der (kubischen) Ableitung \(f'\) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten bereits alle maximal möglichen Nullstellen zeigt, muss der Tiefpunkt von \(f\) der einzige Extrempunkt sein. Da er unterhalb der \(x\)-Achse liegt, muss \(f\) wegen \(f(x)\rightarrow+\infty\) für \(x\rightarrow-\infty\) links von der Tiefstelle eine weitere Nullstelle besitzen.
d) Für die erste Ableitung \( f^{\prime} \) der Funktion \(f\) gilt: \( f^{\prime}(x)=\frac{3}{16} \cdot(x+4)^{r} \cdot(x-2)^{s} \). Geben Sie die Werte von \(r\) und \(s\) an.
Die Parameter \(r\) und \(s\) sind die Vielfachheiten der entsprechenden Nullstellen von \(f'\).
