Kann man die Parameter a, b, c, d und e so bestimmen, dass der Graph der Funktion f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e einen …

Question

Aufgabe:

Kann man die Parameter a, b, c, d und e so bestimmen, dass der Graph der Funktion f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e einen Tiefpunkt bei (0 / 0) und einen Terrassenpunkt bei (2 / 8/3) besitzt und zugleich noch durch den Punkt (1 / 11/6) geht?

Problem/Ansatz:

Ich hab leider gar keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll. Ich dachte an die erste Ableitung und danach den Tiefpunkt bei 0/0 ausrechnen aber da komme ich auch nicht weiter.

Die Endlösung ist: f(x)= 1/2x^4-8/3x^3+4x^2 es fehlen aber halt die Zwischenansätze. Ich hoffe es kann mir jemand weiterhelfen.

Answer 1

Hallo und herzlich willkommen in der Mathelounge,

du bildest aus den Informationen der Aufgabe ein Gleichungssystem.

\(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\\f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ f''(x)=12ax^2+6bx+2c\)

Tiefpunkt bei (0|0)

f(0)=0 ⇒ e = 0

f'(0) = 0 ⇒ d = 0

Terrassenpunkt bei \((2|\frac{8}{3})\)

\(f(2)=\frac{8}{3}\Rightarrow 16a+8b+4c=\frac{8}{3}\\f'(2)=0\Rightarrow 32a+12b+4c=0\\\)

Geht durch den Punkt \((1|\frac{11}{6})\)

\(f(1)=\frac{11}{6}\Rightarrow a+b+c=\frac{11}{6}\)

Jetzt hast du drei Aussagen für die drei Unbekannten a, b und c. Das Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen.

Wenn du noch Fragen hast, melde dich einfach wieder.

Gruß, Silvia

Comments

Vielen vielen Dank für die Hilfe, jetzt wird mir so einiges klar. Leider weiß ich aber nicht, was ich im nächsten Schritt tun soll. Zitat: ,,Jetzt hast du drei Aussagen für die drei Unbekannten a, b und c. Das Gleichungssystem kannst du z.B. mit dem Gauß-Verfahren lösen.´´

Ich hoffe du kannst auch hier mir helfen :)

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Kennst du das Gauß-Verfahren nicht? Wie habt ihr denn bisher ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten gelöst?

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Haben noch nie das Gauß-Verfahren benutzt.. Und das ist das erste Mal, dass ich so eine Aufgabe lösen muss.

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OK, dann vielleicht so:

\(16a+8b+4c=\frac{8}{3}\\ 32a+12b+4c=0\\ \text{Ziehe die 2. Gleichung von der 1. ab. Das Ergebnis ist}\\ -16a-4b=\frac{8}{3}\\[20pt] a+b+c=\frac{11}{6}\\ \text{Multipliziere diese Gleichung mit -4 } \Rightarrow-4a-4b-4c=-\frac{44}{6}\\\text{und addiere sie zu der 1. Gleichung. Das Ergebnis ist}\\ 12a+4b=-\frac{14}{3}\)

Den Rest könntest du jetzt alleine schaffen.

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und einen Terrassenpunkt bei (2 / 8/3) besitzt

Daraus folgen drei Gleichungen, nicht nur zwei. Das entstehende lineare Gleichungssystem ist daher zunächst überbestimmt.

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Ja, ich habe f''(2) = 0  weggelassen, weil man auch ohne diese Angabe zu der angegebenen Lösung kommt.

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Vielen Dank für die Hilfe. Den Rest schaffe ich selber.

Answer 2

"Kann man die Parameter a, b, c, d und e so bestimmen, dass der Graph der Funktion f(x)=a x^4+b x^3+c x^2+d x+e einen Tiefpunkt bei M(0 | 0) und einen Terrassenpunkt bei (2 | 8/3) besitzt und zugleich noch durch den Punkt P(1 | 11/6) geht?"

Weg über die N u l l s t e l l e n f o r m der Parabel 4. Grades:

Terrassenpunkt bei T(2 | 8/3): Ich verschiebe um 8/3 nach unten T ´ ( 2 | 0)

Tiefpunkt bei M(0 | 0)->-> M ´ ( 0 | -8/3)

Punkt P(1 | 11/6) ->->  P ´ (  1 | -5/6)

T ´ ( 2 | 0)

p(x)=a*(x-2)^3*(x-N)

M ´ ( 0 | -8/3)

p(0)=a*(0-2)^3*(0-N)=8a*N

8a*N=-8/3->-> a=-1/(3N)

p(x)=a*(x-2)^3*(x-N)

p(x)=-1/(3N)[(x-2)^3*(x-N)]

Tiefpunkteigenschaft p ´ ( 0 ) = 0

p ´ ( x ) = -1 /( 3 N) [3*(x-2)^2* (x- N )+(x-2 )^3]

p ´ ( 0 ) = -1 /( 3 N) [3*(0-2)^2* (0- N )+(0-2 )^3]

-1 /( 3 N) [3*(0-2)^2* (0- N )+(0-2 )^3]=0->-> N=-2/3 ->->  a=-1/(3*(-2/3))=1/2

p(x)=1/2*(x-2)^3*(x+2/3) 

Nun wieder um 8/3 nach oben, ausmultiplizieren und a, b, c und d bestimmen.