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Aufgabe:

Welche Bedingungen müssen die Parameter a, b, c, d ∈ R erfüllen, damit der Graph von
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d einen Sattelpunkt besitzt?


Wie genau muss ich hier vorgehen?

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2 Antworten

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Ich bin gerade am überlegen ob nicht nur kubische Funktionen der Form

f(x) = a·(x + u)^3 + v

einen Sattelpunkt haben. Wenn das so ist, dann wäre es ja nicht weiter schwer. Ausmultiplizieren und schauen was sich für a, b, c und d ergibt.

Avatar von 487 k 🚀
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Zunächst einmal muss a ≠ 0 sein, damit der Grad der Funktion 3 ist. Bis einschließlich Grad 2 sind die Graphen Geraden oder Parabeln, die keine Wendepunkte, geschweige denn Sattelpunkte, haben. Bei Grad 3 gibt es immer genau eine Wendestelle, dies ist die Lösung der Gleichung f '' (x) = 0. Zwei mal ableiten, einsetzen und auflösen liefert x = -b / (3a). Ein Sattelpunkt liegt genau dann vor, wenn die Steigung des Graphen an dieser Wendestelle genau 0 ist. Dies führt zu der Gleichung f ' ( -b / (3a) ) = 0. Einsetzen und Multiplizieren mit (-3 a) liefert eine Gleichung mit a, b, c. Diese Gleichung erhält man auch über die Bedingung, dass die quadratische Ableitungsfunktion genau eine Nullstelle haben muss (Diskriminante). Der Parameter d kommt nicht vor, was aber auch anschaulich klar sein sollte.

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